Teorie podobnosti Monin – Obukhov - Monin–Obukhov similarity theory

Teorie podobnosti Monin – Obukhov (M – O) popisuje nedimenzionalizovaný střední průtok a střední teplotu v povrchová vrstva za neutrálních podmínek jako funkce bezrozměrného parametru výšky,^[1] pojmenoval podle ruských vědců A. S. Monin a A. M. Obukhov. Teorie podobnosti je empirická metoda, která popisuje univerzální vztahy mezi nedimenzionálními proměnnými tekutin na základě Buckinghamova věta Pi. Teorie podobnosti se značně používá v mezní vrstvě meteorologie, protože vztahy v turbulentních procesech nejsou vždy vyřešitelné z prvních principů.^[2]

Idealizovaným vertikálním profilem středního toku pro neutrální mezní vrstvu je logaritmický profil větru odvozený od Prandtl je teorie směšovacích délek,^[3] který uvádí, že vodorovná složka středního toku je úměrná logaritmu výšky. Teorie podobnosti M – O dále zobecňuje teorii směšovací délky v neutrálních podmínkách pomocí takzvaných „univerzálních funkcí“ bezrozměrné výšky k charakterizaci vertikálních distribucí středního toku a teploty. Délka Obukhov ( ${ displaystyle L}$ ), charakteristická délková stupnice turbulence povrchové vrstvy odvozená Obukhovem v roce 1946,^[4] se používá pro bezrozměrné měřítko skutečné výšky. Teorie podobnosti M – O znamenala významný mezník moderní doby mikrometeorologie, poskytující teoretický základ pro mikrometerologické experimenty a měřicí techniky.^[5]

Délka Obukhov

Délka Obukhov ${ displaystyle L}$ je parametr délky pro povrchovou vrstvu v mezní vrstva, který charakterizuje relativní příspěvky k turbulentní kinetická energie z vztlakové výroby a smykové výroby. Délka Obukhov byla formulována pomocí Richardsonova kritéria pro dynamickou stabilitu.^[4] To bylo odvozeno jako,

${ displaystyle L = - { dfrac {u _ {*} ^ {3}} { kappa { dfrac {g} {T}} { dfrac {Q} { rho c_ {p}}}}}}$

kde ${ displaystyle kappa přibližně 0,40}$ je von Kármánova konstanta, ${ displaystyle u _ {*}}$ třecí rychlost, ${ displaystyle Q}$ turbulentní tepelný tok, a ${ displaystyle c_ {p}}$ tepelná kapacita.^[4] Virtuální potenciální teplota ${ displaystyle theta _ {v}}$ místo teploty se často používá ${ displaystyle T}$ pro korekci účinků tlaku a vodní páry. ${ displaystyle Q}$ lze psát jako vertikální vířivý tok,

${ displaystyle Q = rho c_ {p} { overline {w ' theta _ {v}'}}}$

s ${ displaystyle w '}$ a ${ displaystyle theta _ {v} '}$ odchylky vertikální rychlosti a teploty virtuálního potenciálu. Proto lze délku Obukhov také definovat jako,^[6]

${ displaystyle L = - { dfrac {u _ {*} ^ {3}} { kappa { dfrac {g} { overline { theta _ {v}}}} { overline {w ' theta _ {proti}'}}}}}$

Délka Obukhov funguje také jako kritérium statické stability povrchové vrstvy. Když ${ displaystyle L <0}$ , je povrchová vrstva staticky nestabilní a kdy ${ displaystyle L> 0}$ povrchová vrstva je staticky stabilní. Absolutní velikost ${ displaystyle L}$ označuje odchylku od staticky neutrálního stavu, s menší ${ displaystyle | L |}$ hodnoty odpovídající větším odchylkám od neutrálních podmínek. Když ${ displaystyle | L |}$ je malý a ${ displaystyle L <0}$ , vznášející se procesy dominují produkci turbulentní kinetické energie ve srovnání s smykovou produkcí. Podle definice za neutrálních podmínek ${ displaystyle L rightarrow infty}$ . Délka Obukhov ${ displaystyle L}$ slouží k nedimenzování výšky ${ displaystyle z}$ v teorii podobnosti.

Rozhodující vzorce pro vztahy podobnosti

Teorie podobnosti M – O parametrizuje toky v povrchové vrstvě jako funkci parametru bezrozměrné délky ${ displaystyle zeta = z / L}$ . Z věta Buckingham Pi dimenzionální analýzy lze ze základní sady parametrů vytvořit dvě bezrozměrné skupiny ${ displaystyle {u _ {*}, g / { overline { theta _ {v}}}, částečné { overline {u}} / částečné z, z, { overline {w ' theta _ {proti}'}}}}$ ,

${ displaystyle { dfrac { kappa z} {u _ {*}}} { dfrac { částečné { overline {u}}} { částečné z}}}$ , a ${ displaystyle zeta = { dfrac {z} {L}}}$

Odtud funkce ${ displaystyle varphi _ {M} ( zeta)}$ lze určit empiricky popsat vztah mezi dvěma bezrozměrnými veličinami, který se nazývá univerzální funkce. Podobně, ${ displaystyle varphi _ {H} ( zeta)}$ lze definovat pro bezrozměrnou skupinu středního teplotního profilu. Profily průměrného větru a teploty proto splňují následující vztahy,^[1]^[5]

${ displaystyle { dfrac { částečné { overline {u}}} { částečné z}} = { dfrac {u _ {*}} { kappa z}} varphi _ {M} ( zeta)}$

${ displaystyle { dfrac { částečné { overline { theta _ {v}}}} { částečné z}} = { dfrac { theta _ {*}} { kappa z}} varphi _ { H} ( zeta)}$

kde ${ displaystyle theta _ {*} = - { dfrac { overline {w ' theta _ {v}'}} {u _ {*}}}}$ je charakteristická dynamická teplota, ${ displaystyle varphi _ {M}}$ a ${ displaystyle varphi _ {H}}$ jsou univerzální funkce hybnosti a tepla. The vířivá difuzivita koeficienty pro hybnost a tepelné toky jsou definovány následovně,

${ displaystyle K_ {M} = kappa z { dfrac {u _ {*}} { varphi _ {M} ( zeta)}}, K_ {H} = kappa z { dfrac {u _ {* }} { varphi _ {H} ( zeta)}}}$

${ displaystyle K_ {M}}$ a ${ displaystyle K_ {H}}$ může souviset s turbulentní Prandtlovo číslo ${ displaystyle Pr_ {t}}$ ,

${ displaystyle { dfrac {K_ {H}} {K_ {M}}} = { dfrac {1} {Pr_ {t}}}> 1}$

Ve skutečnosti je třeba univerzální funkce určit pomocí experimentálních dat při aplikaci teorie podobnosti M – O. Ačkoli výběr univerzálních funkcí není jedinečný, byly navrženy určité funkční formy, které jsou široce přijímány pro přizpůsobení experimentálních dat.

Univerzální funkce Monin-Obukhovovy teorie podobnosti

Univerzální funkce pro Monin-Obukhovovu teorii podobnosti

Bylo navrženo několik funkčních forem, které představují univerzální funkce teorie podobnosti. Protože délka Obukhov je určena, když ${ displaystyle L { Big (} { dfrac { částečné Ri} { částečné z}} { velké)} _ {z = 0} = 1}$ , kde ${ displaystyle Ri}$ je Richardsonovo číslo, musí být zvolenou univerzální funkcí splněna následující podmínka,^[1]

${ displaystyle varphi (0) = 1}$

Aproximace prvního řádu univerzální funkce pro tok hybnosti je,

${ displaystyle varphi _ {M} ( zeta) = 1 + beta zeta}$

kde ${ displaystyle beta přibližně 6}$ .^[5] To je však použitelné pouze tehdy, když ${ displaystyle 0 < zeta <1}$ . Pro podmínky, kde ${ displaystyle zeta <0}$ , vztah je,

${ displaystyle varphi _ {M} ^ {4} - gamma zeta varphi _ {M} ^ {3} = 1}$

kde ${ displaystyle gamma}$ je koeficient, který se stanoví z experimentálních údajů. Tuto rovnici lze dále aproximovat pomocí ${ displaystyle varphi _ {M} = (1+ gamma zeta) ^ {- 1/4}}$ když ${ displaystyle -2 < zeta <0}$ .

Na základě výsledků experimentu v Kansasu z roku 1968 jsou pro horizontální střední průtok a střední teplotu virtuálního potenciálu určeny následující univerzální funkce,^[7]

${ displaystyle varphi _ {M} ( zeta) = (1-15 zeta) ^ {- 1/4} quad -2 < zeta <0}$

${ displaystyle varphi _ {M} ( zeta) = 1 + 4,7 zeta quad 0 < zeta <1}$

${ displaystyle varphi _ {H} ( zeta) = 0,74 (1-9 zeta) ^ {- 1/2} quad -2 < zeta <0}$

${ displaystyle varphi _ {H} ( zeta) = 0,74 + 4,7 zeta quad 0 < zeta <1}$

Další metody, které určují univerzální funkce pomocí vztahu mezi ${ displaystyle zeta}$ a ${ displaystyle Ri}$ jsou také používány.^[8]^[9]

Pro podvrstvy se značnou drsností, např. vegetační povrchy nebo městské oblasti, musí být univerzální funkce upraveny tak, aby zahrnovaly účinky drsnosti povrchu.^[6]

Ověření

Nespočet experimentálních snah bylo věnováno ověření teorie podobnosti MO. Pozorování v terénu a počítačové simulace obecně prokázaly, že teorie podobnosti M-O je dobře uspokojena.

Při měření v terénu

Pole pšenice v Kansasu

Experiment v Kansasu z roku 1968 zjistil velkou konzistenci mezi měřeními a předpovědi z podobnostních vztahů pro celý rozsah hodnot stability.^[7] Jako experimentální místo sloužilo ploché pšeničné pole v Kansasu, kde na 32 m věži byly naměřeny větry měřené anemometry v různých výškách. Podobným způsobem byl také měřen teplotní profil. Výsledky terénní studie v Kansasu naznačily, že poměr vířivých difuzivit tepla a hybnosti byl za neutrálních podmínek přibližně 1,35. Podobný experiment byl proveden v plochém poli v severozápadní Minnesotě v roce 1973. Tento experiment používal jak pozemní, tak balónová pozorování povrchové vrstvy a dále ověřil teoretické předpovědi podobnosti.^[10]

Ve velkých vířivých simulacích

Kromě polních experimentů lze analýzu teorie podobnosti M – O provádět pomocí vysokého rozlišení velké vířivé simulace. Simulace naznačuje, že teplotní pole dobře souhlasí s podobností M – O. Pole rychlosti však vykazuje významné anomálie z podobnosti M – O.^[11]

Omezení

Teorie podobnosti M – O, i když úspěšná pro povrchové vrstvy z experimentálních validací, je v podstatě diagnostickou empirickou teorií založenou na lokálním uzavření turbulence prvního řádu. S univerzálními funkcemi je obvykle spojeno 10% ~ 20% chyb. Při aplikaci na vegetační oblasti nebo složité terény může dojít k velkým rozdílům. Protože univerzální funkce jsou často určovány za suchých podmínek, použitelnost teorie M – O podobnosti za vlhkých podmínek nebyla dobře studována.

Základní sada parametrů teorie podobnosti M – O zahrnuje produkci vztlaku ${ displaystyle { dfrac {gQ} {T}}}$ . Tvrdí se, že s takovou sadou parametrů se měřítko aplikuje na integrální vlastnosti toku, zatímco vztah vířivé specifické podobnosti preferuje využití energie rozptýlení hodnotit ${ displaystyle epsilon _ {0}}$ .^[12] Toto schéma je schopné vysvětlit anomálie teorie podobnosti M – O, ale zahrnuje nelokalitu pro modelování a experimenty.

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C Monin, A. S .; Obukhov, A. M. (1954). "Základní zákony turbulentního míchání v povrchové vrstvě atmosféry". Tr. Akad. Nauk. SSSR Geophiz. Inst. 24 (151): 163–187.
^ Stull, Roland (1988). Úvod do mezní vrstvy meteorologie. Nizozemsko: Springer. ISBN 978-94-009-3027-8.
^ Prandtl, Ludwig. „Bericht über Untersuchungen zur ausgebildeten Turbulenz“. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 5 (2): 136–139.
^ ^A ^b ^C Obukhov, A. M. (1971). "Turbulence v atmosféře s nerovnoměrnou teplotou". Mezní vrstva meteorologie. 2 (1): 7–29. Bibcode:1971BoLMe ... 2 .... 7O. doi:10.1007 / BF00718085.
^ ^A ^b ^C Foken, T. „50 let Monin-Obukhovovy teorie podobnosti“. Mezní vrstva meteorologie. 2: 7–29.
^ ^A ^b Foken, Thomas (2008). Mikrometeorologie. Springer-Verlag. str.42 –49. ISBN 978-3-540-74665-2.
^ ^A ^b Businger, J. A.; J. C. Wyngaard; Y. Izumi; E. F. Bradley (1971). "Vztahy s tokovým profilem v atmosférické povrchové vrstvě". Journal of the Atmospheric Sciences. 28 (2): 181–189. Bibcode:1971JAtS ... 28..181B. doi:10.1175 / 1520-0469 (1971) 028 <0181: FPRITA> 2.0.CO; 2.
^ Arya, S. P. (2001). Úvod do mikrometeorologie. San Diego: Academic Press.
^ Högström, U. (1988). „Nerozměrné profily větru a teploty v atmosférické povrchové vrstvě: nové vyhodnocení“. Mezní vrstva meteorologie. 42 (1–2): 55–78. Bibcode:1988BoLMe..42 ... 55H. doi:10.1007 / BF00119875.
^ Kaimal, J. C .; J. C. Wyngaard; D. A. Haugen; O. R. Coté; Y. Izumi; S. J. Caughey; C. J. Readings (1976). "Struktura turbulence v konvektivní mezní vrstvě". Journal of the Atmospheric Sciences. 33 (11): 2152–2169. Bibcode:1976JAtS ... 33,2152K. doi:10.1175 / 1520-0469 (1976) 033 <2152: TSITCB> 2.0.CO; 2.
^ Khanna, Samir; Brasseur, James G. (1997). "Analýza podobnosti Monin-Obukhov z velké vířivé simulace". J. Fluid Mech. 345 (1): 251–286. Bibcode:1997JFM ... 345..251K.
^ McNaughton, Keith (2009). „Vzestup a pád Monin-Obukhovovy teorie“ (PDF). Newsletter AsiaFlux (30): 1–4.

[mo54-1] A ^b ^C Monin, A. S .; Obukhov, A. M. (1954). "Základní zákony turbulentního míchání v povrchové vrstvě atmosféry". Tr. Akad. Nauk. SSSR Geophiz. Inst. 24 (151): 163–187.

[s88-2] Stull, Roland (1988). Úvod do mezní vrstvy meteorologie. Nizozemsko: Springer. ISBN 978-94-009-3027-8.

[p25-3] Prandtl, Ludwig. „Bericht über Untersuchungen zur ausgebildeten Turbulenz“. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 5 (2): 136–139.

[o71-4] A ^b ^C Obukhov, A. M. (1971). "Turbulence v atmosféře s nerovnoměrnou teplotou". Mezní vrstva meteorologie. 2 (1): 7–29. Bibcode:1971BoLMe ... 2 .... 7O. doi:10.1007 / BF00718085.

[f06-5] A ^b ^C Foken, T. „50 let Monin-Obukhovovy teorie podobnosti“. Mezní vrstva meteorologie. 2: 7–29.

[f08-6] A ^b Foken, Thomas (2008). Mikrometeorologie. Springer-Verlag. str.42 –49. ISBN 978-3-540-74665-2.

[b71-7] A ^b Businger, J. A.; J. C. Wyngaard; Y. Izumi; E. F. Bradley (1971). "Vztahy s tokovým profilem v atmosférické povrchové vrstvě". Journal of the Atmospheric Sciences. 28 (2): 181–189. Bibcode:1971JAtS ... 28..181B. doi:10.1175 / 1520-0469 (1971) 028 <0181: FPRITA> 2.0.CO; 2.

[a01-8] Arya, S. P. (2001). Úvod do mikrometeorologie. San Diego: Academic Press.

[h88-9] Högström, U. (1988). „Nerozměrné profily větru a teploty v atmosférické povrchové vrstvě: nové vyhodnocení“. Mezní vrstva meteorologie. 42 (1–2): 55–78. Bibcode:1988BoLMe..42 ... 55H. doi:10.1007 / BF00119875.

[k76-10] Kaimal, J. C .; J. C. Wyngaard; D. A. Haugen; O. R. Coté; Y. Izumi; S. J. Caughey; C. J. Readings (1976). "Struktura turbulence v konvektivní mezní vrstvě". Journal of the Atmospheric Sciences. 33 (11): 2152–2169. Bibcode:1976JAtS ... 33,2152K. doi:10.1175 / 1520-0469 (1976) 033 <2152: TSITCB> 2.0.CO; 2.

[les_mo-11] Khanna, Samir; Brasseur, James G. (1997). "Analýza podobnosti Monin-Obukhov z velké vířivé simulace". J. Fluid Mech. 345 (1): 251–286. Bibcode:1997JFM ... 345..251K.

[m09-12] McNaughton, Keith (2009). „Vzestup a pád Monin-Obukhovovy teorie“ (PDF). Newsletter AsiaFlux (30): 1–4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]