Modulární invariantní teorie - Modular invariant theory

V matematice, a modulární invariant a skupina je invariant a konečná skupina herectví na vektorový prostor pozitivní charakteristiky (obvykle dělící pořadí skupiny). Studium modulárních invariantů vzniklo asi v roce 1914 Dickson (2004).

Dicksonův invariant

Když G je konečná obecná lineární skupina GLn(Fq) přes konečné pole Fq řádu hlavní síla q působící na prsten Fq[X1, ...,Xn] přirozeným způsobem, Dickson (1911) našel kompletní sadu invarianty následujícím způsobem. Psát si [E1, ...,En] pro determinant matice, jejíž položky jsou XqEj
i, kde E1, ...,En jsou nezáporná celá čísla. Například Mooreův determinant [0,1,2] řádu 3 je

${ displaystyle { begin {vmatrix} x_ {1} & x_ {1} ^ {q} & x_ {1} ^ {q ^ {2}} x_ {2} & x_ {2} ^ {q} & x_ {2 } ^ {q ^ {2}} x_ {3} & x_ {3} ^ {q} & x_ {3} ^ {q ^ {2}} end {vmatrix}}}$

Pak pod akcí prvku G GL_n(F_q) všechny tyto determinanty se vynásobí det (G), takže jsou všichni invarianty SL_n(F_q) a poměry [E₁, ...,E_n]/[0, 1, ...,n - 1] jsou invarianty GL_n(F_q), volala Dicksonovy invarianty. Dickson dokázal, že plný kruh invarianty F_q[X₁, ...,X_n]^GL_n(F_q) je polynomiální algebra nad n Dicksonovy invarianty [0, 1, ...,i − 1, i + 1, ..., n]/[0,1,...,n−1] pro i = 0, 1, ..., n − 1.Steinberg (1987) poskytl kratší důkaz Dicksonovy věty.

Matice [E₁, ...,E_n] jsou dělitelné všemi nenulovými lineárními formami v proměnných X_i s koeficienty v konečném poli F_q. Zejména Mooreův determinant [0, 1, ..., n - 1] je produkt takových lineárních forem, převzatý 1 +q + q² + ... + q^n – 1 zástupci (n - 1) -dimenzionální projektivní prostor nad polem. Tato faktorizace je podobná faktorizaci Vandermonde determinant do lineárních faktorů.

Viz také

• Sandersonova věta

Reference

• Dickson, Leonard Eugene (1911), „Základní systém invariantů obecné modulární lineární skupiny s řešením problému tvaru“, Transakce Americké matematické společnosti, 12 (1): 75–98, doi:10.2307/1988736, ISSN  0002-9947, JSTOR  1988736
• Dickson, Leonard Eugene (2004) [1914], O invariantech a teorii čísel, Vydání Dover Phoenix, New York: Dover Publications, ISBN  978-0-486-43828-3, PAN  0201389
• Rutherford, Daniel Edwin (2007) [1932], Modulární invarianty, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No. 27, Ramsay Press, ISBN  978-1-4067-3850-6, PAN  0186665
• Sanderson, Mildred (1913), „Formální modulární invarianty s aplikací na binární modulární kryptoměny“, Transakce Americké matematické společnosti, 14 (4): 489–500, doi:10.2307/1988702, ISSN  0002-9947, JSTOR  1988702
• Steinberg, Robert (1987), „Na Dicksonovu větu o invariantech“ (PDF), Časopis Přírodovědecké fakulty. Tokijská univerzita. Oddíl IA. Matematika, 34 (3): 699–707, ISSN  0040-8980, PAN  0927606, archivovány z originál (PDF) dne 2012-03-05, vyvoláno 2010-12-02