Minkowského – Hlawkova věta - Minkowski–Hlawka theorem

v matematika, Minkowského – Hlawkova věta je výsledek na mřížkové balení z hypersféry v rozměru n > 1. Uvádí, že existuje a mříž v Euklidovský prostor dimenze n, takže odpovídající nejlepší balení hypersfér se středy v mřížové body má hustota Δ uspokojivé

${ displaystyle Delta geq { frac { zeta (n)} {2 ^ {n-1}}},}$

s Funkce Riemann zeta. Tady jako n → ∞, ζ (n) → 1. Důkaz této věty je nepřímý a neposkytuje však explicitní příklad a stále neexistuje žádný známý jednoduchý a explicitní způsob konstrukce mřížek s hustotou balení překračující tuto hranici pro libovolné n. V zásadě lze najít explicitní příklady: například i jen výběr několika „náhodných“ svazů bude fungovat s vysokou pravděpodobností. Problém je v tom, že testování těchto mřížek, aby se zjistilo, zda jsou řešení, vyžaduje nalezení jejich nejkratších vektorů a počet případů ke kontrole roste s dimenzí velmi rychle, takže to může trvat velmi dlouho.

Tento výsledek bez důkazu uvedl Hermann Minkowski  (1911, strany 265–276) a prokázáno Edmund Hlawka  (1943 ). Výsledek souvisí s lineárním dolní mez pro Hermitova konstanta.

Siegelova věta

Siegel (1945) prokázal následující zobecnění Minkowského – Hlawkovy věty. Li S je ohraničený soubor v Rⁿ s objemem Jordan (S) pak průměrný počet nenulových mřížkových vektorů v S je vol (S)/Dkde průměr je převzat ze všech svazů se základní doménou objemu D, a podobně průměrný počet primitivních mřížkových vektorů v S je vol (S)/Dζ (n).

Z toho snadno vyplývá Minkowski – Hlawkova věta, která využívá skutečnosti, že pokud S je hvězdicovité centrálně symetrické těleso (například koule) obsahující méně než 2 primitivní mřížové vektory, potom neobsahuje žádné nenulové mřížkové vektory.

Viz také

• Keplerova domněnka

Reference

• Conway, John H.; Neil J.A. Sloane (1999). Balení koule, mřížky a skupiny (3. vyd.). New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98585-9.
• Hlawka, Edmund (1943), "Zur Geometrie der Zahlen", Matematika. Z., 49: 285–312, doi:10.1007 / BF01174201, PAN  0009782
• Minkowski (1911), Gesammelte Abhandlungen, 1, Lipsko: Teubner
• Siegel, Carl Ludwig (1945), „Věta o střední hodnotě v geometrii čísel“ (PDF), Ann. matematiky., 2, 46: 340–347, doi:10.2307/1969027, PAN  0012093