Meyerova sada - Meyer set
V matematice, a Meyerova sada nebo téměř mříž je sada relativně hustá X bodů v Euklidovské letadlo nebo vyšší dimenze Euklidovský prostor takový, že jeho Minkowski rozdíl sama se sebou je rovnoměrně diskrétní. Meyerovy sady mají několik ekvivalentních charakterizací; jsou pojmenovány po Yves Meyer, který je představil a studoval v kontextu diofantické aproximace. V současné době jsou Meyerovy množiny nejlépe známé jako matematický model pro kvazikrystaly. Meyerova práce však předchází objevení kvazikrystalů o více než deset let a byla zcela motivována teoretickými otázkami čísel. [1][2]
Definice a charakterizace
Podmnožina X a metrický prostor je relativně hustý, pokud existuje číslo r tak, že všechny body X jsou v dosahu r z X, a je jednotně diskrétní, pokud existuje číslo ε tak, že žádné dva body X jsou v dosahu ε navzájem. Soubor, který je relativně hustý a rovnoměrně diskrétní, se nazývá a Delone set. Když X je podmnožinou a vektorový prostor, své Minkowski rozdíl X − X je množina {X − y | X, y vX} rozdílů dvojic prvků X.[3]
S těmito definicemi může být Meyerova množina definována jako relativně hustá množina X pro který X − X je jednotně diskrétní. Ekvivalentně je to sada Delone, pro kterou X − X je Delone,[1] nebo Delone set X pro které existuje konečná množina F s X − X ⊂ X + F[4]
Některé další ekvivalentní charakterizace zahrnují sadu
definované pro daný X a εa přibližné (jako ε se blíží nule) definice reciproční mříž a mříž. Poměrně hustá sada X je Meyerova sada právě tehdy
- Pro všechny ε > 0, Xε je relativně hustý nebo ekvivalentní
- Existuje ε s 0 <ε <1/2 pro které Xε je relativně hustá.[1]
A charakter aditivní uzavřené podmnožiny vektorového prostoru je funkce, která mapuje množinu na jednotkový kruh v rovině komplexní čísla, takže součet jakýchkoli dvou prvků je mapován na součin jejich obrazů. Sada X je harmonická sada pokud pro každou postavu χ o aditivním uzávěru X a každý ε > 0, v celém prostoru existuje souvislý znak ε- přibližný χ. Pak poměrně hustá sada X je Meyerova sada právě tehdy, pokud je harmonická.[1]
Příklady
Meyerovy sady zahrnují
- Body jakéhokoli mříž
- Vrcholy jakékoli kosočtverce Penroseovy obklady[5]
- The Minkowského součet jiného setu Meyer s jakýmkoli neprázdným konečná množina[4]
- Jakákoli relativně hustá podmnožina jiné Meyerovy sady[6]
Reference
- ^ A b C d Moody, Robert V. (1997), „Meyerovy množiny a jejich duály“, Matematika dálkového aperiodického řádu (Waterloo, ON, 1995), NATO Advanced Science Institutes Series C: Mathematical and Physical Sciences, 489, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, s. 403–441, PAN 1460032.
- ^ Lagarias, J. C. (1996), „Meyerův koncept kvazikrystalů a kvaziregulárních souprav“, Komunikace v matematické fyzice, 179 (2): 365–376, doi:10.1007 / bf02102593, PAN 1400744.
- ^ Moody dává různé definice relativní hustoty a jednotné diskrétnosti, specializované na lokálně kompaktní skupiny, ale poznamenává, že tyto definice se shodují s obvyklými definicemi pro reálné vektorové prostory.
- ^ A b Moody (1997), Oddíl 7.
- ^ Moody (1997), Oddíl 3.2.
- ^ Moody (1997), Dodatek 6.7.