Harmonická sada - Harmonious set - Wikipedia

v matematika, a harmonická sada je podmnožinou a místně kompaktní abelianská skupina na kterém lze každou slabou postavu jednotně aproximovat silnými postavami. Ekvivalentně je vhodně definovaná dvojitá množina v souboru relativně hustá Pontryagin dual skupiny. Tuto představu představil Yves Meyer v roce 1970 a později se ukázalo, že hraje důležitou roli v matematické teorii kvazikrystaly. Některé související pojmy jsou modelové sady, Meyerovy sady, a řezané a projektové sady.

Definice

Nechat Λ být podmnožinou lokálně kompaktní abelianské skupiny G a Λ_d být podskupinou G generováno uživatelem Λ, s diskrétní topologie. A slabý charakter je omezení Λ algebraického homomorfismu z Λ_d do kruhová skupina:

${ displaystyle chi: Lambda _ {d} to mathbf {T}, quad chi in operatorname {Hom} ( Lambda _ {d}, mathbf {T}).}$

A silný charakter je omezení Λ kontinuálního homomorfismu z G na T, to je prvek Pontryagin dual z G.

Sada Λ je harmonický pokud lze každou slabou postavu aproximovat silnými znaky rovnoměrně Λ. Tak pro všechny ε > 0 a jakýkoli slabý charakter χ, existuje silná postava ξ takhle

${ displaystyle sup _ { Lambda} | chi ( lambda) - xi ( lambda) | leq epsilon, quad chi in operatorname {Hom} ( Lambda _ {d}, mathbf {T}), xi in { hat {G}}.}$

Pokud je lokálně kompaktní abelianská skupina G je oddělitelný a měřitelný (jeho topologie může být definována metrikou invariantní k překladu), pak harmonické sady připouštějí další, související popis. Vzhledem k podmnožině Λ z G a pozitivní ε, nechť M_ε být podmnožinou duálu Pontryagin z G skládající se ze všech postav, které jsou téměř triviální Λ:

${ displaystyle sup _ { Lambda} | chi ( lambda) -1 | leq epsilon, quad chi in { hat {G}}.}$

Pak Λ je harmonický pokud sady M_ε jsou relativně hustá ve smyslu Besicovitch: pro každého ε > 0 existuje kompaktní podmnožina K._ε Pontryaginův duální takový

${ displaystyle M _ { epsilon} + K _ { epsilon} = { hat {G}}.}$

Vlastnosti

• Podmnožina harmonické sady je harmonická.
• Li Λ je harmonický soubor a F je konečná množina a množina Λ + F je také harmonický.

Další dvě vlastnosti ukazují, že pojem harmonické množiny je netriviální pouze tehdy, když okolní skupina není ani kompaktní, ani diskrétní.

• Konečná sada Λ je vždy harmonický. Pokud skupina G je kompaktní, pak je naopak každá harmonická sada konečná.
• Li G je diskrétní skupina pak je každá sada harmonická.

Příklady

V teorii vznikají zajímavé příklady multiplikativně uzavřených harmonických množin reálných čísel diofantická aproximace.

• Nechat G být aditivní skupinou reálná čísla, θ > 1 a sada Λ se skládají ze všech konečných součtů různých mocnin θ. Pak Λ je harmonický právě tehdy θ je Číslo pisotu. Zejména posloupnost sil Pisotova čísla je harmonická.
• Nechat K. být skutečný algebraické číslo pole stupně n přes Q a sada Λ se skládají ze všech Pisot nebo Salem počet stupňů n v K.. Pak Λ je obsažen v otevřeném intervalu (1, ∞), uzavřený při násobení a harmonický. Naopak každá sada reálných čísel s těmito 3 vlastnostmi sestává ze všech Pisotových nebo Salemových čísel stupňů n v nějakém poli skutečných algebraických čísel K. stupně n.

Viz také

• Téměř periodická funkce

Reference

• Yves Meyer, Algebraická čísla a harmonická analýza, North-Holland Mathematical Library, sv. 2, North-Holland, 1972