Metrický rozdíl - Metric differential

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Metrický rozdíl“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Září 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematická analýza, a metrický rozdíl je zobecněním a derivát pro Lipschitzova spojitá funkce definované na a Euklidovský prostor a braní hodnot libovolně metrický prostor. S touto definicí derivátu lze zobecnit Rademacherova věta k metrickým prostorovým hodnotám Lipschitzových funkcí.

Diskuse

Rademacherova věta uvádí, že mapa Lipschitz F : Rⁿ → R^m je rozlišitelný téměř všude v Rⁿ; jinými slovy, téměř pro každého X, F je přibližně lineární v jakémkoli dostatečně malém rozsahu X. Li F je funkce z euklidovského prostoru Rⁿ který místo toho přebírá hodnoty v metrický prostor X, od té doby nemá smysl hovořit o odlišitelnosti X nemá žádnou lineární strukturu a priori. I když to předpokládáte X je Banachův prostor a zeptejte se, zda a Fréchetův derivát existuje téměř všude, to neplatí. Zvažte například funkci F : [0,1] → L¹([0,1]), mapování jednotkového intervalu na prostor integrovatelných funkcí, definován F(X) = χ_[0,X], tato funkce je Lipschitz (a ve skutečnosti, izometrie ) protože, pokud 0 ≤X ≤ y≤ 1 tedy

${ displaystyle | f (x) -f (y) | = int _ {0} ^ {1} | chi _ {[0, x]} (t) - chi _ {[0, y]} (t) | , dt = int _ {x} ^ {y} , dt = | xy |,}$

ale jeden může ověřit, že lim_h→0(F(X + h) −  F(X))/h nekonverguje k L¹ funkce pro všechny X v [0,1], takže není nikde diferencovatelný.

Pokud se však podíváte na Rademacherovu větu jako na prohlášení o tom, jak se Lipschitzova funkce stabilizuje při přiblížení téměř v každém bodě, taková věta existuje, ale je uvedena z hlediska metrických vlastností F místo jeho lineárních vlastností.

Definice a existence metrického diferenciálu

Náhrada derivátu F:Rⁿ → X je metrický rozdíl F v určitém okamžiku z v Rⁿ což je funkce na Rⁿ definované limitem

${ displaystyle MD (f, z) (x) = lim _ {r rightarrow 0} { frac {d_ {X} (f (z + rx), f (z))} {r}}}$

kdykoli existuje limit (zde d _X označuje metriku na X).

Věta podle Bernda Kirchheima^[1] uvádí, že platí Rademacherova věta z hlediska metrických diferenciálů: téměř pro každou z v Rⁿ, MD (F, z) je seminář a

${ displaystyle d_ {X} (f (x), f (y)) - MD (f, z) (x-y) = o (| x-z | + | y-z |).}$

The malý-o zápis zde použité znamená, že při hodnotách velmi blízkých z, funkce F je přibližně izometrie z Rⁿ s ohledem na seminář MD (F, z) do metrického prostoruX.

Reference