Metoda pokračujících frakcí - Method of continued fractions

The metoda pokračujících zlomků je metoda vyvinutá speciálně pro řešení integrálních rovnic teorie kvantového rozptylu jako Lippmann-Schwingerova rovnice nebo Faddeevovy rovnice. To bylo vynalezeno Horáček a Sasakawa ^[1] v roce 1983. Cílem metody je vyřešit integrální rovnici

${ displaystyle | psi rangle = | phi rangle + G_ {0} V | psi rangle}$

iterativně a konstruovat konvergentní pokračující zlomek pro T-matice

${ displaystyle T = langle phi | V | psi rangle.}$

Metoda má dvě varianty. V prvním (označeném jako MCFV) sestrojíme aproximace potenciálního energetického operátora ${ displaystyle V}$ ve formě oddělitelná funkce pořadí 1, 2, 3 ... Druhá varianta (metoda MCFG^[2]) vytvoří aproximace konečné pozice na Greenův operátor. Aproximace jsou konstruovány uvnitř Krylovský podprostor zkonstruovaný z vektoru ${ displaystyle | phi rangle}$ s akcí operátora ${ displaystyle A = G_ {0} V}$. Metodu lze tedy chápat jako obnovení z (obecně odlišné) Born série podle Apostati Padé. Je to také úzce spjato s Schwingerův variační princip Metoda obecně vyžaduje podobné množství numerické práce jako výpočet podmínek Bornovy řady, ale poskytuje mnohem rychlejší konvergenci výsledků.

Algoritmus MCFV

Odvození metody probíhá následovně. Nejprve představíme hodnost jedna (oddělitelné) přiblížení k potenciálu

${ displaystyle V = { frac {V | phi rangle langle phi | V} { langle phi | V | phi rangle}} + V_ {1}.}$

Integrální rovnice pro první část potenciálu je snadno rozpustná. Úplné řešení původního problému lze tedy vyjádřit jako

${ displaystyle | psi rangle = | phi rangle + { frac {T} { langle phi | V | phi rangle}} | psi _ {1} rangle, qquad T = { frac { langle phi | V | phi rangle ^ {2}} { langle phi | V | phi rangle - langle phi | V | psi _ {1} rangle}}, }$

z hlediska nové funkce ${ displaystyle | psi _ {1} rangle}$. Tato funkce je řešením modifikované Lippmann-Schwingerovy rovnice

${ displaystyle | psi _ {1} rangle = | phi _ {1} rangle + G_ {0} V_ {1} | psi _ {1} rangle,}$

s ${ displaystyle | phi _ {1} rangle = G_ {0} V | phi rangle.}$Zbývající potenciální termín ${ displaystyle V_ {1}}$ je transparentní pro příchozí vlnu

${ displaystyle V_ {1} | phi rangle = langle phi | V_ {1} = 0,}$

i. E. je to slabší operátor než ten původní. Takto získaný nový problém ${ displaystyle | psi _ {1} rangle}$ má stejnou formu jako původní a můžeme postup opakovat. To se týká opakujících se vztahů

${ displaystyle V_ {i} = V_ {i-1} - { frac {V_ {i-1} | phi _ {i-1} rangle langle phi _ {i-1} | V_ {i -1}} { langle phi _ {i-1} | V_ {i-1} | phi _ {i-1} rangle}}}$

${ displaystyle | phi _ {i} rangle = G_ {0} V_ {i-1} | phi _ {i-1} rangle.}$

Je možné ukázat, že T-matice původního problému může být vyjádřena ve formě řetězcového zlomku

${ displaystyle T = { cfrac { beta _ {0} ^ {2}} { beta _ {0} - gamma _ {1} - { cfrac { beta _ {1} ^ {2}} { beta _ {1} - gamma _ {2} - { cfrac { beta _ {2} ^ {2}} { beta _ {2} - gamma _ {3} - ddots}}} }}},}$

kde jsme definovali

${ displaystyle beta _ {i} = langle phi _ {i-1} | V_ {i-1} | phi _ {i-1} rangle, qquad gamma _ {i} = langle phi _ {i-1} | V_ {i-1} | phi _ {i} rangle.}$

V praktickém výpočtu je podíl nekonečného řetězce nahrazen konečným za předpokladu, že to

${ displaystyle beta _ {N} = beta _ {N + 1} = dots = 0, qquad gamma _ {N} = gamma _ {N + 1} = dots = 0.}$

To odpovídá předpokladu, že zbývající řešení

${ displaystyle | psi _ {N} rangle = | phi _ {N} rangle + G_ {0} V_ {N} | psi _ {N} rangle,}$

je zanedbatelný. To je věrohodný předpoklad, protože zbývající potenciál ${ displaystyle V_ {N}}$ má všechny vektory${ displaystyle | phi _ {i} rangle, i = 0,1, ..., N-1}$ v jeho prázdný prostor a je možné ukázat, že tento potenciál konverguje k nule a řetězový zlomek konverguje k přesné T-matici.

Algoritmus MCFG

Druhá varianta^[2] metody sestrojit aproximace k Greenovu operátorovi

${ displaystyle G_ {i + 1} = G_ {i} - { frac {| phi _ {i + 1} rangle langle phi _ {i + 1} |} { langle phi _ {i } | V | phi _ {i + 1} rangle}},}$

nyní s vektory

${ displaystyle | phi _ {i + 1} rangle = G_ {i} V | phi _ {i} rangle}$.

Řetězcová frakce pro T-matici nyní také platí, s trochu odlišnou definicí koeficientů ${ displaystyle beta _ {i}, gamma _ {i}}$.^[2]

Vlastnosti a vztah k jiným metodám

Výrazy pro T-matici vyplývající z obou metod mohou souviset s určitou třídou variačních principů. V případě první iterace metody MCFV dostaneme stejný výsledek jako z Schwingerův variační princip se zkušební funkcí ${ displaystyle | psi rangle = | phi rangle}$. Vyšší iterace s N-členy v spojité frakci reprodukují přesně 2N členy (2N + 1) Born série pro metodu MCFV (nebo MCFG). Metoda byla testována na výpočtu srážek elektrony z atom vodíku ve statické směnné aproximaci. V tomto případě metoda reprodukuje přesné výsledky pro rozptyl průřezu na 6 platných číslicích ve 4 iteracích. Lze také ukázat, že obě metody přesně reprodukují řešení Lippmann-Schwingerova rovnice s potenciálem daným operátor konečné pozice. Počet iterací se potom rovná hodnosti potenciálu. Metoda byla úspěšně použita k řešení problémů v obou jaderný^[3] a molekulární fyzika.^[4]

Reference