Maticová variace distribuce Dirichlet - Matrix variate Dirichlet distribution

v statistika, maticová variační Dirichletova distribuce je zobecněním maticová variační distribuce beta.

Předpokládat ${ displaystyle U_ {1}, ldots, U_ {r}}$ jsou ${ Displaystyle p krát p}$ pozitivní určité matice s ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {r} U_ {i}$ , kde ${ displaystyle I_ {p}}$ je ${ Displaystyle p krát p}$ matice identity. Pak říkáme, že ${ displaystyle U_ {i}}$ mít maticovou variabilní Dirichletovu distribuci, ${ displaystyle left (U_ {1}, ldots, U_ {r} right) sim D_ {p} left (a_ {1}, ldots, a_ {r}; a_ {r + 1} že jo)}$ , pokud jejich kloub funkce hustoty pravděpodobnosti je

{ displaystyle left { beta _ {p} left (a_ {1}, ldots, a_ {r}, a_ {r + 1} right) right } ^ {- 1} prod _ {i = 1} ^ {r} det left (U_ {i} right) ^ {a_ {i} - (p + 1) / 2} det left (I_ {p} - sum _ { i = 1} ^ {r} U_ {i} vpravo) ^ {a_ {r + 1} - (p + 1) / 2}}

kde ${ displaystyle a_ {i}> (p-1) / 2, i = 1, ldots, r + 1}$ a ${ displaystyle beta _ {p} left ( cdots right)}$ je funkce více proměnných beta.

Pokud píšeme ${ displaystyle U_ {r + 1} = I_ {p} - součet _ {i = 1} ^ {r} U_ {i}}$ pak má PDF jednodušší formu

{ displaystyle left { beta _ {p} left (a_ {1}, ldots, a_ {r + 1} right) right } ^ {- 1} prod _ {i = 1} ^ {r + 1} det left (U_ {i} right) ^ {a_ {i} - (p + 1) / 2},}

na pochopení toho ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {r} U_ {i} = I_ {p}}$ .

Věty

zobecnění výsledku chi square-Dirichlet

Předpokládat ${ displaystyle S_ {i} sim W_ {p} left (n_ {i}, Sigma right), i = 1, ldots, r + 1}$ jsou nezávisle distribuovány Wishart ${ Displaystyle p krát p}$ pozitivní určité matice. Pak definování ${ displaystyle U_ {i} = S ^ {- 1/2} S_ {i} vlevo (S ^ {- 1/2} vpravo) ^ {T}}$ (kde ${ displaystyle S = sum _ {i = 1} ^ {r + 1} S_ {i}}$ je součet matic a ${ displaystyle S ^ {1/2} doleva (S ^ {- 1/2} doprava) ^ {T}}$ je jakákoli rozumná faktorizace ${ displaystyle S}$ ), my máme

{ displaystyle left (U_ {1}, ldots, U_ {r} right) sim D_ {p} left (n_ {1} / 2, ..., n_ {r + 1} / 2 že jo).}

Okrajové rozdělení

Li ${ displaystyle left (U_ {1}, ldots, U_ {r} right) sim D_ {p} left (a_ {1}, ldots, a_ {r + 1} right)}$ , a pokud ${ displaystyle s leq r}$ , pak:

{ displaystyle left (U_ {1}, ldots, U_ {s} right) sim D_ {p} left (a_ {1}, ldots, a_ {s}, sum _ {i = s +1} ^ {r + 1} a_ {i} vpravo)}

Podmíněné rozdělení

Také se stejným zápisem jako výše, hustota ${ displaystyle left (U_ {s + 1}, ldots, U_ {r} right) left | left (U_ {1}, ldots, U_ {s} right) right.}$ darováno

{ displaystyle { frac { prod _ {i = s + 1} ^ {r + 1} det left (U_ {i} right) ^ {a_ {i} - (p + 1) / 2} } { beta _ {p} left (a_ {s + 1}, ldots, a_ {r + 1} right) det left (I_ {p} - sum _ {i = 1} ^ { s} U_ {i} right) ^ { sum _ {i = s + 1} ^ {r + 1} a_ {i} - (p + 1) / 2}}}}

kde píšeme ${ displaystyle U_ {r + 1} = I_ {p} - součet _ {i = 1} ^ {r} U_ {i}}$ .

rozdělená distribuce

Předpokládat ${ displaystyle left (U_ {1}, ldots, U_ {r} right) sim D_ {p} left (a_ {1}, ldots, a_ {r + 1} right)}$ a předpokládejme to ${ displaystyle S_ {1}, ldots, S_ {t}}$ je oddíl ${ displaystyle left [r + 1 right] = left {1, ldots r + 1 right }}$ (to znamená, ${ displaystyle cup _ {i = 1} ^ {t} S_ {i} = left [r + 1 right]}$ a ${ displaystyle S_ {i} čepice S_ {j} = emptyset}$ -li ${ displaystyle i neq j}$ ). Pak, psaní ${ displaystyle U _ {(j)} = součet _ {i v S_ {j}} U_ {i}}$ a ${ displaystyle a _ {(j)} = součet _ {i v S_ {j}} a_ {i}}$ (s ${ displaystyle U_ {r + 1} = I_ {p} - součet _ {i = 1} ^ {r} U_ {r}}$ ), my máme:

{ displaystyle left (U _ {(1)}, ldots U _ {(t)} right) sim D_ {p} left (a _ {(1)}, ldots, a _ {(t)} že jo).}

oddíly

Předpokládat ${ displaystyle left (U_ {1}, ldots, U_ {r} right) sim D_ {p} left (a_ {1}, ldots, a_ {r + 1} right)}$ . Definovat

{ displaystyle U_ {i} = left ({ begin {array} {rr} U_ {11 (i)} & U_ {12 (i)} U_ {21 (i)} & U_ {22 (i)}) end {array}} right) qquad i = 1, ldots, r}

kde ${ displaystyle U_ {11 (i)}}$ je ${ displaystyle p_ {1} krát p_ {1}}$ a ${ displaystyle U_ {22 (i)}}$ je ${ displaystyle p_ {2} krát p_ {2}}$ . Psaní Schurův doplněk ${ displaystyle U_ {22 cdot 1 (i)} = U_ {21 (i)} U_ {11 (i)} ^ {- 1} U_ {12 (i)}}$ my máme