Příklad Lewys - Lewys example - Wikipedia

V matematický studie parciální diferenciální rovnice, Příklad Lewyho je oslavovaným příkladem kvůli Hans Lewy lineární parciální diferenciální rovnice bez řešení. Ukazuje se, že analog Cauchy – Kovalevskaja věta nedrží v hladké kategorii.

Původní příklad není explicitní, protože používá Hahnova – Banachova věta, ale od té doby byly nalezeny různé explicitní příklady stejné povahy Harold Jacobowitz.

The Malgrangeova-Ehrenpreisova věta uvádí (zhruba), že lineární parciální diferenciální rovnice s konstantní koeficienty vždy mít alespoň jedno řešení; Příklad Lewyho ukazuje, že tento výsledek nelze rozšířit na lineární parciální diferenciální rovnice s polynomiálními koeficienty.

Příklad

Prohlášení je následující

Na ℝ × ℂ existuje a hladký funkce s komplexní hodnotou ${ displaystyle F (t, z)}$ tak, že diferenciální rovnice

${ displaystyle { frac { částečné u} { částečné { bar {z}}}} - iz { frac { částečné u} { částečné t}} = F (t, z)}$

nepřipouští žádné řešení na žádné otevřené sadě. Všimněte si, že pokud ${ displaystyle F}$ je analytický pak Cauchy – Kovalevskaja věta znamená, že existuje řešení.

Lewy to konstruuje ${ displaystyle F}$ pomocí následujícího výsledku:

Na ℝ × ℂ předpokládejme, že ${ displaystyle u (t, z)}$ je funkce uspokojující, v sousedství původu,

${ displaystyle { frac { částečné u} { částečné { bar {z}}}} - iz { frac { částečné u} { částečné t}} = varphi ^ { prime} (t) }$

pro některé C¹ funkce φ. Pak φ musí být skutečný analytik v (možná menším) sousedství původu.

To lze považovat za teorém o neexistenci tím, že vezmeme φ být pouze hladkou funkcí. Lewyův příklad bere tuto druhou rovnici a v jistém smyslu překládá jeho neřešitelnost do každého bodu ℝ × ℂ. Metoda dokazování používá a Kategorie Baire argument, takže v určitém přesném smyslu jsou téměř všechny rovnice této formy neřešitelné.

Mizohata (1962) později zjistil, že ještě jednodušší rovnice

${ displaystyle { frac { částečné u} { částečné x}} + ix { frac { částečné u} { částečné y}} = F (x, y)}$

v závislosti na 2 reálných proměnných X a y někdy nemá žádná řešení. Toto je téměř nejjednodušší možný operátor parciálního diferenciálu s nekonstantními koeficienty.

Význam pro potrubí CR

A CR potrubí je vybaven a řetězový komplex diferenciálních operátorů, formálně podobných Dolbeault komplex na komplexní potrubí, nazvaný ${ displaystyle scriptstyle { bar { částečné}} _ {b}}$-komplex. Komplex Dolbeault připouští verzi Poincaré lemma. V jazyce snopy, to znamená, že komplex Dolbeault je přesný. Příklad Lewyho však ukazuje, že ${ displaystyle scriptstyle { bar { částečné}} _ {b}}$-komplex není téměř nikdy přesný.

Reference

• Lewy, Hans (1957), „Příklad hladké lineární parciální diferenciální rovnice bez řešení“, Annals of Mathematics, 66 (1): 155–158, doi:10.2307/1970121, JSTOR  1970121, PAN  0088629, Zbl  0078.08104.
• Mizohata, Sigeru (1962), „Řešení nulles et solutions non analytiques“, Journal of Mathematics of Kyoto University (francouzsky), 1 (2): 271–302, PAN  0142873, Zbl  0106.29601.
• Rosay, Jean-Pierre (2001) [1994], „Lewy operátor a operátor Mizohata“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS