Malcev Lie algebra - Malcev Lie algebra

V matematice, a Malcev Lie algebranebo Mal'tsev Lie algebra, je zobecněním racionálního nilpotentu Lež algebra a Malcevovy skupiny jsou podobné. Oba představil Quillen (1969, Příloha A3), na základě práce (Mal'cev 1949 ).

Definice

Podle Papadima & Suciu (2004) a Malcev Lie Algebra je racionální Lie Algebra ${ displaystyle L}$ společně s úplným sestupem ${ displaystyle { mathbb {Q}}}$-vektorová filtrace prostoru ${ displaystyle {F_ {r} L } _ {r geq 1}}$takové, že:

• ${ displaystyle F_ {1} L = L}$
• ${ displaystyle [F_ {r} L, F_ {s} L] podmnožina F_ {r + s} L}$
• přidružená klasifikovaná Lieova algebra ${ displaystyle oplus _ {r geq 1} F_ {r} L / F_ ​​{r + 1} L}$ je generován prvky stupně jedna.

Aplikace

Vztah k Hopfovým algebrám

Quillen (1969 Příloha A3) ukázala, že Malcev Lieovy algebry a Malcevovy skupiny jsou rovnocenné úplným Hopfovy algebry, tj. Hopfovy algebry H obdařen a filtrace aby H je izomorfní s ${ displaystyle varprojlim H / F_ ​​{n} H}$. Funktory zapojené do těchto rovnocenností jsou následující: skupina Malcev G je mapována k dokončení (s ohledem na augmentace ideální ) jeho skupinové vyzvánění QG, s inverzí danou skupinou skupinové prvky Hopfovy algebry H, v podstatě ty prvky 1 + X takhle ${ displaystyle Delta (x) = x další x}$. Od kompletních Hopfových algeber po Malcevovy algebry lži se dostanete tím, že (dokončení) primitivní prvky, s inverzním funktorem daným dokončením univerzální obalová algebra.

Tuto rovnocennost kategorií využil Goodwillie (1986) dokázat, že po tenzorování pomocí Q, relativní K.-teorie K (A, Já), pro nilpotentní ideál Já, je izomorfní s relativním cyklická homologie HC (A, Já). Tato věta byla průkopnickým výsledkem v oblasti trasovací metody.

Hodgeova teorie

Algebry Malcev Lie vznikají také v teorii smíšené Hodgeovy struktury.

Reference

• Goodwillie, Thomas G. (1986), „Relativní algebraický K.-teorie a cyklická homologie ", Annals of Mathematics, Druhá série, 124 (2): 347–402, doi:10.2307/1971283, PAN  0855300
• Mal'cev, A. I. (1949), „Nilpotentní skupiny bez kroucení“, Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya, 13: 201–212, ISSN  0373-2436, PAN  0028843
• Papadima, Stefan; Suciu, Alexander I. (2004), „Chen Lie algebras“, Oznámení o mezinárodním matematickém výzkumu (21): 1057–1086, arXiv:matematika / 0307087, doi:10.1155 / S1073792804132017, ISSN  1073-7928, PAN  2037049
• Quillen, Daniel (1969), „Racionální teorie homotopie“, Annals of Mathematics, Druhá série, 90: 205–295, doi:10.2307/1970725, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970725, PAN  0258031