Model se soustředěnými prvky

Reprezentace koncentrovaného modelu složeného ze zdroje napětí a rezistoru.

The model se soustředěnými prvky (také zvaný model se soustředěnými parametrynebo model se soustředěnou složkou) zjednodušuje popis chování prostorově distribuovaných fyzických systémů na a topologie skládající se z diskrétních entit, které za určitých předpokladů aproximují chování distribuovaného systému. Je to užitečné v elektrické systémy (počítaje v to elektronika ), mechanické vícetělové systémy, přenos tepla, akustika, atd.

Matematicky řečeno, zjednodušení snižuje státní prostor systému na a konečný dimenze a parciální diferenciální rovnice (PDE) spojitého (nekonečně-rozměrného) časového a prostorového modelu fyzického systému do obyčejné diferenciální rovnice (ODR) s konečným počtem parametrů.

Elektrické systémy

Disciplína se soustředěnou hmotou

The disciplína soustředěné hmoty je soubor uložených předpokladů v elektrotechnika který poskytuje základ pro odběr soustředěného obvodu použito v síťová analýza.^[1] Omezení, která si sama stanoví, jsou:

1. Změna magnetického toku v čase mimo vodič je nulová.

{ displaystyle { frac { částečné phi _ {B}} { částečné t}} = 0}

2. Změna náboje v čase uvnitř vodivých prvků je nulová.

{ displaystyle { frac { částečné q} { částečné t}} = 0}

3. Zajímavé časové osy signálu jsou mnohem větší než zpoždění šíření elektromagnetické vlny přes soustředěný prvek.

Výsledkem prvních dvou předpokladů je Kirchhoffovy obvodové zákony při aplikaci na Maxwellovy rovnice a jsou použitelné, pouze když je obvod zapojen ustálený stav. Třetí předpoklad je základem modelu se soustředěnými prvky použitého v síťová analýza. Méně závažné předpoklady vedou k model s distribuovanými prvky, přestože nevyžadují přímé použití úplných Maxwellových rovnic.

Model elektroniky se soustředěným prvkem obvodů činí zjednodušující předpoklad, že atributy obvodu, odpor, kapacita, indukčnost, a získat, jsou soustředěny do idealizovaných elektrické součásti; rezistory, kondenzátory, a induktory, atd. propojené sítí dokonale vedení dráty.

Model se soustředěným prvkem je platný kdykoli ${ displaystyle L_ {c} ll lambda}$ , kde ${ displaystyle L_ {c}}$ označuje charakteristickou délku obvodu a ${ displaystyle lambda}$ označuje činnost obvodu vlnová délka. V opačném případě, když je délka obvodu v řádu vlnové délky, musíme vzít v úvahu obecnější modely, například model s distribuovanými prvky (počítaje v to přenosové linky ), jehož dynamické chování popisuje Maxwellovy rovnice. Dalším způsobem, jak zobrazit platnost modelu se soustředěnými prvky, je poznamenat, že tento model ignoruje konečný čas potřebný k šíření signálů po obvodu. Kdykoli tato doba šíření není pro aplikaci významná, lze použít model soustředěného prvku. To je případ, kdy je doba šíření mnohem kratší než doba příslušného signálu. Se zvyšující se dobou šíření však bude narůstat chyba mezi předpokládanou a skutečnou fází signálu, což má za následek chybu v předpokládané amplitudě signálu. Přesný bod, ve kterém již nelze použít model se soustředěnými prvky, závisí do určité míry na tom, jak přesně je třeba v dané aplikaci znát signál.

Komponenty v reálném světě vykazují neideální vlastnosti, které jsou ve skutečnosti distribuovanými prvky, ale často jsou reprezentovány jako a aproximace prvního řádu soustředěnými prvky. Z důvodu úniku dovnitř kondenzátory například můžeme modelovat neideální kondenzátor tak, že má velký koncentrovaný odpor paralelně připojené, i když je únik, ve skutečnosti distribuován po celém dielektriku. Podobně a drátový odpor má významné indukčnost stejně jako odpor distribuované po jeho délce, ale můžeme to modelovat jako soustředěnou induktor v sérii s ideálním odporem.

Tepelné systémy

A model se soustředěnou kapacitou, také zvaný soustředěná analýza systému,^[2] snižuje a tepelný systém na několik samostatných „hrudek“ a předpokládá, že teplota rozdíl uvnitř každé hrudky je zanedbatelný. Tato aproximace je užitečná pro zjednodušení jinak složitého rozdíl tepelné rovnice. Byl vyvinut jako matematický analog elektrická kapacita, ačkoli to také zahrnuje termální analogy elektrický odpor také.

Model se soustředěnou kapacitou je běžnou aproximací v přechodném vedení, kterou lze kdykoli použít vedení tepla uvnitř objektu je mnohem rychlejší než přenos tepla přes hranici objektu. Metoda aproximace pak vhodně redukuje jeden aspekt systému přechodného vedení (změna prostorové teploty uvnitř objektu) do matematicky přijatelnější podoby (to znamená, že se předpokládá, že teplota v objektu je v prostoru zcela stejná, i když tato prostorově rovnoměrné změny teploty v čase). Se vzrůstající jednotnou teplotou v objektu nebo části systému lze potom zacházet jako s kapacitním zásobníkem, který absorbuje teplo, dokud nedosáhne ustáleného tepelného stavu v čase (po kterém se teplota v něm nezmění).

Dříve objeveným příkladem systému se soustředěnou kapacitou, který vykazuje matematicky jednoduché chování kvůli takovým fyzikálním zjednodušením, jsou systémy, které odpovídají Newtonův zákon chlazení. Tento zákon jednoduše říká, že teplota horkého (nebo studeného) objektu postupuje směrem k teplotě jeho prostředí jednoduchým exponenciálním způsobem. Objekty dodržují tento zákon striktně pouze v případě, že rychlost vedení tepla v nich je mnohem větší než tok tepla do nich nebo z nich. V takových případech má smysl hovořit o jediné „teplotě objektu“ v daném okamžiku (protože v objektu nedochází k žádným prostorovým teplotním změnám) a také rovnoměrné teploty v objektu umožňují, aby se jeho celkový přebytek nebo deficit tepelné energie proporcionálně lišil na jeho povrchovou teplotu, čímž se stanoví Newtonův zákon požadavku na chlazení, že rychlost poklesu teploty je úměrná rozdílu mezi objektem a prostředím. To zase vede k jednoduchému exponenciálnímu chování při ohřevu nebo chlazení (podrobnosti níže).

Metoda

Chcete-li určit počet kusů, použijte Biot číslo Používá se (Bi), bezrozměrný parametr systému. Bi je definován jako poměr vodivého tepelného odporu v objektu k konvekční přenos tepla odpor přes hranici objektu s jednotnou lázní různé teploty. Když teplotní odolnost teplo přenesené do objektu je větší než odpor vůči teplu difúzní úplně v objektu je Biotovo číslo menší než 1. V tomto případě, zejména pro Biotova čísla, která jsou ještě menší, je aproximace prostorově rovnoměrná teplota v objektu Může se začít používat, protože lze předpokládat, že teplo přenášené do objektu má čas se rovnoměrně distribuovat, a to z důvodu nižšího odporu vůči tomu ve srovnání s odporem vůči teplu vstupujícímu do objektu.

Pokud je Biotovo číslo menší než 0,1 pro pevný předmět, pak bude mít celý materiál téměř stejnou teplotu, přičemž dominantní teplotní rozdíl bude na povrchu. Lze jej považovat za „tepelně tenký“. Pro užitečnou přesnou aproximaci a analýzu přenosu tepla musí být číslo Biot obecně menší než 0,1. Matematické řešení aproximace koncentrovaného systému dává Newtonův zákon chlazení.

Biotovo číslo větší než 0,1 („tepelně silná“ látka) naznačuje, že tento předpoklad nelze učinit složitějším přenos tepla k popisu časově proměnného a prostorově stejnoměrného teplotního pole v tělese materiálu budou zapotřebí rovnice pro „přechodné vedení tepla“.

Přístup s jedinou kapacitou lze rozšířit tak, aby zahrnoval mnoho odporových a kapacitních prvků, s Bi <0,1 pro každý kus. Protože se číslo Biot počítá na základě a charakteristická délka systému lze systém často rozdělit na dostatečný počet sekcí nebo hrudek, takže Biotův počet je přijatelně malý.

Některé charakteristické délky tepelných systémů jsou:

Deska: tloušťka
Ploutev: tloušťka / 2
Dlouho válec: průměr / 4
Koule: průměr / 6

U libovolných tvarů může být užitečné považovat charakteristickou délku za objem / plochu.

Tepelné čistě odporové obvody

Užitečným konceptem používaným v aplikacích přenosu tepla, jakmile je dosaženo podmínky ustáleného vedení tepla, je reprezentace přenosu tepla tzv. Tepelnými okruhy. Tepelný obvod je vyjádření odporu vůči toku tepla v každém prvku obvodu, jako by tomu tak bylo elektrický odpor. Přenesené teplo je analogické s elektrický proud a tepelný odpor je analogický s elektrickým odporem. Hodnoty tepelného odporu pro různé režimy přenosu tepla se poté vypočítají jako jmenovatele vyvinutých rovnic. Tepelné odpory různých režimů přenosu tepla se používají při analýze kombinovaných režimů přenosu tepla. Nedostatek „kapacitních“ prvků v následujícím čistě odporovém příkladu znamená, že žádná část obvodu neabsorbuje energii nebo se nemění rozložení teploty. To odpovídá požadavku, aby byl již ustaven stav ustáleného vedení tepla (nebo přenosu, jako u záření).

Rovnice popisující tři režimy přenosu tepla a jejich tepelné odpory v ustálených podmínkách, jak již bylo uvedeno dříve, jsou shrnuty v následující tabulce:

Rovnice pro různé režimy přenosu tepla a jejich tepelné odpory.
Režim přenosu	Rychlost přenosu tepla	Teplotní odolnost
Vedení	${ displaystyle { dot {Q}} = { frac {T_ {1} -T_ {2}} { vlevo ({ frac {L} {kA}} vpravo)}}}$	${ displaystyle { frac {L} {kA}}}$
Proudění	${ displaystyle { dot {Q}} = { frac {T _ { rm {surf}} - T _ { rm {envr}}} { left ({ frac {1} {h _ { rm {conv }} A _ { rm {surf}}}} vpravo)}}}$	${ displaystyle { frac {1} {h _ { rm {conv}} A _ { rm {surf}}}}}$
Záření	${ displaystyle { dot {Q}} = { frac {T _ { rm {surf}} - T _ { rm {surr}}} { left ({ frac {1} {h_ {r} A_ { rm {surf}}}} vpravo)}}}$	${ displaystyle { frac {1} {h_ {r} A}}}$ , kde ${ displaystyle h_ {r} = epsilon sigma (T _ { rm {surf}} ^ {2} + T _ { rm {surr}} ^ {2}) (T _ { rm {surf}} + T_ { rm {surr}}}}$

V případech, kdy dochází k přenosu tepla různými médii (například a Kompozitní materiál ), ekvivalentní odpor je součet odporů komponent, které tvoří kompozit. Pravděpodobně v případech, kdy existují různé režimy přenosu tepla, je celkový odpor součtem odporů různých režimů. Při použití konceptu tepelného okruhu je množství tepla přenášeného jakýmkoli médiem kvocient změny teploty a celkového tepelného odporu média.

Jako příklad zvažte kompozitní stěnu s průřezem ${ displaystyle A}$ . Kompozit je vyroben z ${ displaystyle L_ {1}}$ dlouhá cementová omítka s tepelným koeficientem ${ displaystyle k_ {1}}$ a ${ displaystyle L_ {2}}$ dlouhé papírové vláknité sklo s tepelným koeficientem ${ displaystyle k_ {2}}$ . Levý povrch stěny je na ${ displaystyle T_ {i}}$ a vystaveny vzduchu s konvekčním koeficientem ${ displaystyle h_ {i}}$ . Pravý povrch stěny je na ${ displaystyle T_ {o}}$ a vystaveny vzduchu s konvekčním koeficientem ${ displaystyle h_ {o}}$ .

Při použití koncepce tepelného odporu je tok tepla kompozitem následující:

${ displaystyle { dot {Q}} = { frac {T_ {i} -T_ {o}} {R_ {i} + R_ {1} + R_ {2} + R_ {o}}} = { frac {T_ {i} -T_ {1}} {R_ {i}}} = { frac {T_ {i} -T_ {2}} {R_ {i} + R_ {1}}} = { frac {T_ {i} -T_ {3}} {R_ {i} + R_ {1} + R_ {2}}} = { frac {T_ {1} -T_ {2}} {R_ {1}}} = { frac {T_ {3} -T_ {o}} {R_ {0}}}}$

kde

${ displaystyle R_ {i} = { frac {1} {h_ {i} A}}}$ , ${ displaystyle R_ {o} = { frac {1} {h_ {o} A}}}$ , ${ displaystyle R_ {1} = { frac {L_ {1}} {k_ {1} A}}}$ , a ${ displaystyle R_ {2} = { frac {L_ {2}} {k_ {2} A}}}$

Newtonův zákon chlazení

Newtonův zákon chlazení je empirický vztah přisuzovaný anglickému fyzikovi Sir Isaac Newton (1642 - 1727). Tento zákon stanovený nematematickou formou je následující:

Rychlost tepelných ztrát těla je úměrná teplotnímu rozdílu mezi tělem a jeho okolím.

Nebo pomocí symbolů:

{ displaystyle { text {Rychlost chlazení}} sim ! , Delta T}

Objekt při jiné teplotě než jeho okolí nakonec dosáhne společné teploty se svým okolím. Relativně horký předmět se ochlazuje, když ohřívá své okolí; chladný objekt je ohříván okolím. Když zvažujeme, jak rychle (nebo pomalu) něco vychladne, mluvíme o tom hodnotit chlazení - kolik stupňů se mění teplota za jednotku času.

Rychlost chlazení objektu závisí na tom, o kolik je objekt teplejší než jeho okolí. Změna teploty horkého jablečného koláče za minutu bude větší, pokud je koláč vložen do studené mrazničky, než pokud je umístěn na kuchyňském stole. Když koláč ochladí v mrazáku, teplotní rozdíl mezi ním a jeho okolím je větší. V chladném dni bude teplý dům propouštět teplo ven rychleji, když bude velký rozdíl mezi vnitřní a venkovní teplotou. Udržování vnitřku domu při vysoké teplotě za chladného dne je tedy nákladnější než jeho udržování při nižší teplotě. Pokud je teplotní rozdíl malý, bude rychlost chlazení odpovídajícím způsobem nízká.

Jak uvádí Newtonův zákon chlazení, rychlost ochlazování objektu - ať už vedení, proudění nebo záření - je přibližně úměrný teplotnímu rozdílu ΔT. Zmrazené jídlo se v teplé místnosti zahřeje rychleji než v chladné místnosti. Pamatujte, že rychlost ochlazování v chladném dni lze zvýšit přidaným konvekčním účinkem vítr. Toto se označuje jako větrný chlad. Například chladný vítr s teplotou -20 ° C znamená, že se teplo ztrácí stejnou rychlostí, jako kdyby byla teplota bez větru -20 ° C.

Použitelné situace

Tento zákon popisuje mnoho situací, kdy má předmět velkou tepelnou kapacitu a velkou vodivost a je najednou ponořen do jednotné lázně, která vede teplo relativně špatně. Je to příklad tepelného okruhu s jedním odporovým a jedním kapacitním prvkem. Aby byl zákon správný, musí být teploty ve všech bodech uvnitř těla v každém časovém bodě přibližně stejné, včetně teploty na jeho povrchu. Teplotní rozdíl mezi tělem a okolím tedy nezávisí na tom, která část těla je zvolena, protože všechny části těla mají účinně stejnou teplotu. V těchto situacích materiál těla nepůsobí na „izolaci“ ostatních částí těla od toku tepla a veškerá významná izolace (neboli „tepelný odpor“), která řídí rychlost toku tepla v situaci, spočívá v oblast kontaktu mezi tělem a jeho okolím. Přes tuto hranici teplotní hodnota skáče diskontinuálním způsobem.

V takových situacích může být teplo přenášeno z vnějšku do vnitřku tělesa přes izolační hranici konvekcí, vedením nebo difúzí, pokud tato hranice slouží jako relativně špatný vodič s ohledem na vnitřek objektu. Přítomnost fyzického izolátoru není nutná, pokud je proces, který slouží k přenosu tepla přes hranici, „pomalý“ ve srovnání s vodivým přenosem tepla uvnitř těla (nebo uvnitř zájmové oblasti - „hrudky“) popsáno výše).

V takové situaci působí objekt jako „kapacitní“ prvek obvodu a odpor tepelného kontaktu na hranici působí jako (jediný) tepelný odpor. V elektrických obvodech by se taková kombinace nabíjela nebo vybíjela směrem ke vstupnímu napětí podle jednoduchého exponenciálního zákona v čase. V tepelném okruhu má tato konfigurace za následek stejné teplotní chování: exponenciální přiblížení teploty objektu k teplotě lázně.

Matematický výrok

Newtonův zákon je matematicky vyjádřen jednoduchou diferenciální rovnicí prvního řádu:

{ displaystyle { frac {dQ} {dt}} = - h cdot A (T (t) -T _ { text {env}}) = - h cdot A Delta T (t) quad}

kde

Q je tepelná energie v joulů

h je součinitel přestupu tepla mezi povrchem a tekutinou

A je povrchová plocha přenášeného tepla

T je teplota povrchu a vnitřku objektu (protože v této aproximaci jsou stejné)

T_env je teplota prostředí

ΔT (t) = T (t) - T_env je časově závislá tepelná spád mezi prostředím a objektem

Uvedení přenosů tepla do této formy není někdy velmi dobrá aproximace, v závislosti na poměrech tepelných vodivosti v systému. Pokud rozdíly nejsou velké, může přesná formulace přenosů tepla v systému vyžadovat analýzu toku tepla na základě (přechodné) rovnice přenosu tepla v nehomogenních nebo špatně vodivých médiích.

Řešení z hlediska tepelné kapacity objektu

Pokud je celé tělo považováno za tepelný zásobník se soustředěnou kapacitou, jehož celkový tepelný obsah je úměrný jednoduchému součtu tepelná kapacita ${ displaystyle C}$ , a ${ displaystyle T}$ , teplota těla, nebo ${ displaystyle Q = CT}$ . Očekává se, že systém zažije exponenciální úpadek s časem v teplotě těla.

Z definice tepelné kapacity ${ displaystyle C}$ přichází vztah ${ displaystyle C = dQ / dT}$ . Diferenciace této rovnice s ohledem na čas dává identitu (platí, pokud jsou teploty v objektu v daném okamžiku jednotné): ${ displaystyle dQ / dt = C (dT / dt)}$ . Tento výraz lze použít k nahrazení ${ displaystyle dQ / dt}$ v první rovnici, která začíná touto částí výše. Pak, pokud ${ displaystyle T (t)}$ je teplota takového těla v čase ${ displaystyle t}$ , a ${ displaystyle T_ {env}}$ je teplota prostředí kolem těla:

{ displaystyle { frac {dT (t)} {dt}} = - r (T (t) -T _ { mathrm {env}}) = - r Delta T (t) quad}

kde

${ displaystyle r = hA / C}$ je kladná konstantní charakteristika systému, která musí být v jednotkách ${ displaystyle s ^ {- 1}}$ , a proto se někdy vyjadřuje jako charakteristika časová konstanta ${ displaystyle t_ {0}}$ dána: ${ displaystyle t_ {0} = 1 / r = - Delta T (t) / (dT (t) / dt)}$ . V tepelných systémech tedy ${ displaystyle t_ {0} = C / hA}$ . (Celkem tepelná kapacita ${ displaystyle C}$ systému může být dále reprezentován jeho hmotnostíspecifická tepelná kapacita ${ displaystyle c_ {p}}$ vynásobený jeho hmotou ${ displaystyle m}$ , takže časová konstanta ${ displaystyle t_ {0}}$ je také dáno ${ displaystyle mc_ {p} / hA}$ ).

Řešení této diferenciální rovnice standardními metodami integrace a substituce okrajových podmínek poskytuje:

{ displaystyle T (t) = T _ { mathrm {env}} + (T (0) -T _ { mathrm {env}}) e ^ {- rt}. quad}

Li:

{ displaystyle Delta T (t) quad}

je definován jako:

{ displaystyle T (t) -T _ { mathrm {env}} , quad}

kde

{ displaystyle Delta T (0) quad}

je počáteční teplotní rozdíl v čase 0,

pak je newtonovské řešení napsáno jako:

{ displaystyle Delta T (t) = Delta T (0) e ^ {- rt} = Delta T (0) e ^ {- t / t_ {0}}. quad}

Stejné řešení je téměř okamžitě zřejmé, pokud je počáteční diferenciální rovnice napsána ve smyslu ${ displaystyle Delta T (t)}$ , jako jediná funkce, která má být vyřešena. “

{ displaystyle { frac {dT (t)} {dt}} = { frac {d Delta T (t)} {dt}} = - { frac {1} {t_ {0}}} Delta T (t) quad}

Aplikace

Tento způsob analýzy byl aplikován na forenzní vědy analyzovat čas smrti lidí. Lze jej také použít na HVAC (vytápění, ventilace a klimatizace, které lze označit jako „ovládání klimatizace budovy“), aby zajistily téměř okamžité účinky změny nastavení úrovně komfortu.^[3]

Mechanické systémy

Zjednodušující předpoklady v této oblasti jsou:

všechny objekty jsou tuhá tělesa;
všechny interakce mezi tuhými tělesy probíhají prostřednictvím kinematické páry (klouby), pružiny a tlumiče.

Akustika

V této souvislosti model soustředěných komponent rozšiřuje distribuované koncepty Akustická teorie podléhá aproximaci. V modelu akustické soustružené součásti lze určité fyzické součásti s akustickými vlastnostmi přiblížit tak, že se chovají podobně jako standardní elektronické součástky nebo jednoduché kombinace součástí.

Dutinu s tuhými stěnami obsahující vzduch (nebo podobnou stlačitelnou tekutinu) lze přiblížit jako a kondenzátor jehož hodnota je úměrná objemu dutiny. Platnost této aproximace závisí na tom, že nejkratší sledovaná vlnová délka je významně (mnohem) větší než nejdelší rozměr dutiny.
A reflexní port lze aproximovat jako induktor jehož hodnota je úměrná efektivní délce přístavu děleno jeho průřezovou plochou. Efektivní délka je skutečná délka plus konec korekce. Tato aproximace závisí na tom, že nejkratší požadovaná vlnová délka je podstatně větší než nejdelší rozměr portu.
Některé typy tlumicího materiálu lze přiblížit jako a odpor. Hodnota závisí na vlastnostech a rozměrech materiálu. Aproximace závisí na dostatečně dlouhých vlnových délkách a na vlastnostech samotného materiálu.
A reproduktor pohonná jednotka (obvykle a basový reproduktor nebo subwoofer pohonná jednotka) lze aproximovat jako sériové připojení nulovéhoimpedance Napětí zdroj, a odpor, a kondenzátor a induktor. Hodnoty závisí na specifikacích jednotky a požadované vlnové délce.

Přenos tepla pro budovy

Zjednodušujícím předpokladem v této oblasti je, že všechny mechanismy přenosu tepla jsou lineární, což znamená, že záření a konvekce jsou pro každý problém linearizovány.

Naleznete několik publikací, které popisují, jak generovat modely budov se soustředěnými prvky. Ve většině případů je budova považována za jednu tepelnou zónu a v tomto případě může být přeměna vícevrstvých stěn na prvky se soustředěnými prvky jedním z nejsložitějších úkolů při vytváření modelu. Metoda dominantní vrstvy je jedna jednoduchá a přiměřeně přesná metoda.^[4] V této metodě je jedna z vrstev vybrána jako dominantní vrstva v celé konstrukci, tato vrstva je vybrána s ohledem na nejrelevantnější frekvence problému. Ve své diplomové práci^[5]

Soustředěné prvky budov byly také použity k vyhodnocení účinnosti domácích energetických systémů spuštěním mnoha simulací v různých budoucích scénářích počasí.^[6]

Tekutinové systémy

Modely se soustředěnými prvky lze použít k popisu fluidních systémů pomocí napětí, které představuje tlak, a proudu, který představuje tok; identické rovnice ze znázornění elektrického obvodu jsou platné po nahrazení těchto dvou proměnných. Takové aplikace mohou například studovat reakci lidského kardiovaskulárního systému na komorové asistenční zařízení implantace. ^[7]

Viz také

Izomorfismus systému

Reference

^ Anant Agarwal a Jeffrey Lang, výukové materiály pro 6.002 Circuits and Electronics, jaro 2007. MIT OpenCourseWare (PDF ), Massachusetts Institute of Technology.
^ Incropera; DeWitt; Bergman; Lavine (2007). Základy přenosu tepla a hmoty (6. vydání). John Wiley & Sons. str.260 –261. ISBN 978-0-471-45728-2.
^ Přenos tepla - praktický přístup Yunus Cengel
^ Ramallo-González, A.P., Eames, M.E. & Coley, D.A., 2013. Modely soustředěných parametrů pro tepelné modelování budov: Analytický přístup ke zjednodušení složitých vícevrstvých konstrukcí. Energie a budovy, 60, s. 174-184.
^ Ramallo-González, A.P. 2013. Simulace modelování a optimalizace nízkoenergetických budov. PhD. University of Exeter.
^ Cooper, S.J.G., Hammond, G.P., McManus, M.C., Ramallo-Gonzlez, A. & Rogers, J.G., 2014. Vliv provozních podmínek na výkon domácích topných systémů s tepelnými čerpadly a mikrokogenerací palivových článků. Energie a budovy, 70, s. 52-60.
^ Farahmand M, Kavarana MN, Trusty PM, Kung EO. „Cílový provozní rozsah průtoku a tlaku pro návrh selhávajícího podpůrného zařízení Fontan Cavopulmonary“ IEEE Transaction on Biomedical Engineering. DOI: 10,1109 / TBME.2020.2974098 (2020)

externí odkazy

Pokročilé techniky modelování a simulace magnetických komponent
Dodatek IMTEK Mathematica (IMS), Open Source IMTEK Mathematica Supplement (IMS) pro soustředěné modelování

[1] Anant Agarwal a Jeffrey Lang, výukové materiály pro 6.002 Circuits and Electronics, jaro 2007. MIT OpenCourseWare (PDF ), Massachusetts Institute of Technology.

[2] Incropera; DeWitt; Bergman; Lavine (2007). Základy přenosu tepla a hmoty (6. vydání). John Wiley & Sons. str.260 –261. ISBN 978-0-471-45728-2.

[3] Přenos tepla - praktický přístup Yunus Cengel

[4] Ramallo-González, A.P., Eames, M.E. & Coley, D.A., 2013. Modely soustředěných parametrů pro tepelné modelování budov: Analytický přístup ke zjednodušení složitých vícevrstvých konstrukcí. Energie a budovy, 60, s. 174-184.

[5] Ramallo-González, A.P. 2013. Simulace modelování a optimalizace nízkoenergetických budov. PhD. University of Exeter.

[6] Cooper, S.J.G., Hammond, G.P., McManus, M.C., Ramallo-Gonzlez, A. & Rogers, J.G., 2014. Vliv provozních podmínek na výkon domácích topných systémů s tepelnými čerpadly a mikrokogenerací palivových článků. Energie a budovy, 70, s. 52-60.

[7] Farahmand M, Kavarana MN, Trusty PM, Kung EO. „Cílový provozní rozsah průtoku a tlaku pro návrh selhávajícího podpůrného zařízení Fontan Cavopulmonary“ IEEE Transaction on Biomedical Engineering. DOI: 10,1109 / TBME.2020.2974098 (2020)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]