Lozanićův trojúhelník - Lozanićs triangle - Wikipedia

Lozanićův trojúhelník (někdy nazývané Losanitschův trojúhelník) je trojúhelníkové pole z binomické koeficienty podobným způsobem jako v Pascalův trojúhelník. Je pojmenována po srbském chemikovi Sima Lozanić, který to zkoumal při svém výzkumu symetrií vystavených řadami parafinů (archaický výraz pro alkany ).

Prvních několik řádků Lozanićova trojúhelníku je

                                             1                                          1     1                                       1     1     1                                    1     2     2     1                                 1     2     4     2     1                              1     3     6     6     3     1                           1     3     9    12     9     3     1                        1     4    12    19    19    12     4     1                     1     4    16    28    38    28    16     4     1                  1     5    20    44    66    66    44    20     5     1               1     5    25    60   110   128   110    60    25     5     1            1     6    30    85   170   236   236   170    85    30     6     1         1     6    36   110   255   396   472   396   255   110    36     6     1      1     7    42   146   365   651   868   868   651   365   146    42     7     1   1     7    49   182   511  1001  1519  1716  1519  1001   511   182    49     7     11     8    56   231   693  1512  2520  3235  3235  2520  1512   693   231    56     8    1

uvedené v (pořadí A034851 v OEIS ).

Stejně jako Pascalův trojúhelník jsou úhlopříčky vnějších hran Lozanićova trojúhelníku všechny 1 s a většina z přiložených čísel je součtem dvou čísel výše. Ale pro čísla na lichých pozicích k v sudých řadách n (počínaje číslováním pro oba s 0), po přidání dvou čísel výše odečtěte číslo na pozici (k - 1) / 2 v řadě n/ 2 - 1 Pascalova trojúhelníku.

Úhlopříčky vedle okrajových úhlopříček obsahují kladná celá čísla v pořadí, ale s každým celým číslem uvedeným dvakrát OEIS: A004526.

Pohybující se směrem dovnitř obsahuje další dvojice úhlopříček „čtverce“ (OEIS: A002620), nebo čtvercová čísla a pronická čísla prokládané.

Další dvojice úhlopříček obsahuje alkanová čísla l(6, n) (OEIS: A005993). A další dvojice úhlopříček obsahuje alkanová čísla l(7, n) (OEIS: A005994), zatímco další pár má alkanová čísla l(8, n) (OEIS: A005995), pak alkanová čísla l(9, n) (OEIS: A018210), pak l(10, n) (OEIS: A018211), l(11, n) (OEIS: A018212), l(12, n) (OEIS: A018213), atd.

Součet nje řada Lozanićova trojúhelníku ${ displaystyle 2 ^ {n-2} +2 ^ { lfloor n / 2 rfloor -1}}$ (OEIS: A005418 seznam prvních asi třiceti hodnot).

Součty úhlopříček Lozanićova trojúhelníku se mísí ${ displaystyle {F_ {2n-1} + F_ {n + 1}} nad 2}$ s ${ displaystyle {F_ {2n} + F_ {n}} přes 2}$ (kde F_X je Xth Fibonacciho číslo ).

Jak se dalo očekávat, položením Pascalova trojúhelníku nad Lozanićův trojúhelník a odečtením se získá trojúhelník s vnějšími úhlopříčkami skládajícími se z nul (OEIS: A034852nebo OEIS: A034877 pro verzi bez nuly). Tento konkrétní rozdílový trojúhelník má uplatnění v chemickém studiu katakondenzovaných polygonálních systémů.

Reference

• S. M. Losanitsch, Die Isomerie-Arten bei den Homologen der Paraffin-Reihe, Chem. Ber. 30 (1897), 1917 - 1926.
• N. J. A. Sloane, Klasické sekvence