Littlewood – Offordův problém - Littlewood–Offord problem

v matematický pole kombinatorická geometrie, Littlewood – Offordův problém je problém stanovení počtu dílčí součty sady vektory které spadají do dané konvexní sada. Více formálně, pokud PROTI je vektorový prostor o dimenze d, problém je určit, vzhledem k konečné podmnožině vektorů S a konvexní podmnožina A, počet podmnožin S jehož součet je v A.

První horní hranice pro tento problém byl prokázán (pro d = 1 a d = 2) v roce 1938 John Edensor Littlewood a A. Cyril Offord.^[1] Tento Littlewood – Offordovo lemma uvádí, že pokud S je sada n reálné nebo komplexní počty absolutní hodnota alespoň jeden a A je jakýkoli disk z poloměr jeden, pak ne více než ${ displaystyle { Big (} c , log n / { sqrt {n}} { Big)} 2 ^ {n}}$ ze 2ⁿ možné subsumy ve výši S spadnout na disk.

V roce 1945 Paul Erdős vylepšil horní mez pro d = 1 až

${ displaystyle {n vybrat lfloor {n / 2} rfloor} přibližně 2 ^ {n} , { frac {1} { sqrt {n}}}}$

použitím Spernerova věta.^[2] Tato vazba je ostrá; rovnosti je dosaženo, když jsou všechny vektory v S jsou rovny. V roce 1966 Kleitman ukázal, že stejná hranice platí pro komplexní čísla. V roce 1970 to rozšířil na nastavení, kdy PROTI je normovaný prostor.^[2]

Předpokládat S = {proti₁, …, proti_n}. Odečtením

${ displaystyle { frac {1} {2}} součet _ {i = 1} ^ {n} v_ {i}}$

z každého možného subsumu (tj. změnou původu a následným zvětšením o faktor 2) je problém Littlewood – Offord ekvivalentní problému stanovení počtu součtů formuláře

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} epsilon _ {i} v_ {i}}$

které spadají do sady cílů A, kde ${ displaystyle epsilon _ {i}}$ nabývá hodnoty 1 nebo -1. Tím se problém stává a pravděpodobnostní jeden, ve kterém je otázkou jejich rozdělení náhodné vektory, a co lze říci, neví o tom nic víc proti_i.

Reference