Liñánova rovnice - Liñáns equation - Wikipedia

Ve studii o difúzní plamen, Liñánova rovnice je nelineární obyčejná diferenciální rovnice druhého řádu, která popisuje vnitřní strukturu difuzního plamene, nejprve odvozenou pomocí Amable Liñán v roce 1974.^[1] Rovnice zní jako

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {d zeta ^ {2}}} = (y ^ {2} - zeta ^ {2}) e ​​^ {- delta ^ {- 1 / 3} (y + gamma zeta)}}$

vystaveny okrajovým podmínkám

${ displaystyle { begin {zarovnáno} zeta rightarrow - infty: & quad { frac {dy} {d zeta}} = - 1, zeta rightarrow infty: & quad { frac {dy} {d zeta}} = 1 end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle delta}$ je zmenšená nebo změněná velikost Damköhlerovo číslo a ${ displaystyle gamma}$ je poměr přebytečného tepla vedeného na jednu stranu reakční vrstvy k celkovému teplu generovanému v reakční zóně. Li ${ displaystyle gamma> 0}$, na stranu okysličovadla se přenáší více tepla, čímž se snižuje reakční rychlost na straně okysličovadla (protože reakční rychlost závisí na teplotě) a v důsledku toho bude na stranu okysličovadla unikat větší množství paliva. Vzhledem k tomu, pokud ${ displaystyle gamma <0}$, více tepla se přenáší na palivovou stranu difuzního plamene, čímž se snižuje rychlost reakce na palivové straně plamene a zvyšuje se únik oxidačního činidla na palivovou stranu. Když ${ displaystyle gamma rightarrow 1}$ ${ displaystyle ( gamma rightarrow -1)}$, veškeré teplo je transportováno na stranu oxidátoru (paliva), a proto plamen udržuje extrémně velké množství úniku paliva (oxidátoru).^[2]

Rovnice je v některých aspektech univerzální (také se jí říká kanonická rovnice difúzního plamene), protože i když Liňán odvodil rovnici pro tok stagnačních bodů, za předpokladu jednoty Lewisova čísla pro reaktanty byla nalezena stejná rovnice, která představuje vnitřní strukturu pro obecné laminární plameny,^[3][4][5] s libovolnými Lewisovými čísly.^[6][7][8]

Existence řešení

Blízko zániku difuzního plamene, ${ displaystyle delta}$ je jednota řádu. Rovnice nemá řešení pro ${ displaystyle delta < delta _ {E}}$, kde ${ displaystyle delta _ {E}}$ je vyhynutí Damköhlerovo číslo. Pro ${ displaystyle delta> delta _ {E}}$ s ${ displaystyle | gamma | <1}$, rovnice má dvě řešení, z nichž jedno je nestabilní řešení. Unikátní řešení existuje, pokud ${ displaystyle | gamma |> 1}$ a ${ displaystyle delta> delta _ {E}}$. Řešení je jedinečné pro ${ displaystyle delta> delta _ {I}}$, kde ${ displaystyle delta _ {I}}$ je Damköhlerovo číslo zapalování.

Liñán také dal korelační vzorec pro vyhynutí Damköhlerovo číslo, které je stále přesnější ${ displaystyle 1- gamma ll 1}$,

${ displaystyle delta _ {E} = e [(1- gamma) - (1- gamma) ^ {2} +0,26 (1- gamma) ^ {3} +0,055 (1- gamma) ^ {4}].}$

Zobecněná Liñánova rovnice

Zobecněná Liñánova rovnice je dána vztahem

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {d zeta ^ {2}}} = (y- zeta) ^ {m} (y + zeta) ^ {n} e ^ {- delta ^ {- 1/3} (y + gamma zeta)}}$

kde ${ displaystyle m}$ a ${ displaystyle n}$ jsou konstantní reakční řády paliva a okysličovadla.

Velký počet Damköhlerových čísel

V Burke – Schumannův limit, ${ displaystyle delta rightarrow infty}$. Potom se rovnice redukuje na

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {d zeta ^ {2}}} = (y- zeta) ^ {m} (y + zeta) ^ {n}, quad zeta rightarrow pm infty: , { frac {dy} {d zeta}} = pm 1.}$

Přibližné řešení této rovnice vyvinul sám Liñán pomocí integrální metody v roce 1963 pro svou práci,^[9]

${ displaystyle y ( zeta) = y_ {m} + ( zeta - zeta _ {m}) operatorname {erf} [k ( zeta - zeta _ {m})] - { frac {1 } {{ sqrt { pi}} k}} vlevo [1-e ^ {- k ^ {2} ( zeta - zeta _ {m}) ^ {2}} vpravo],}$

kde ${ displaystyle mathrm {erf}}$ je chybová funkce a

${ displaystyle { begin {zarovnáno} zeta _ {m} & = { frac {nm} {n + m}} y_ {m}, y_ {m} & = { frac {m + n} {2}} left [{ frac {2} { pi m ^ {2} n ^ {2}}} left ({ sqrt {1 + { frac { pi (m + n)} { 2mn}}}} - 1 vpravo) vpravo] ^ { frac {1} {m + n + 1}}, k & = { frac { sqrt { pi}} {2}} m ^ {m} n ^ {n} left ({ frac {2y_ {m}} {m + n}} right) ^ {m + n}. end {aligned}}}$

Tady ${ displaystyle zeta = zeta _ {m}}$ je místo, kde ${ displaystyle y ( zeta)}$ dosáhne své minimální hodnoty ${ displaystyle y ( zeta _ {m}) = y_ {m}}$. Když ${ displaystyle m = n = 1}$, ${ displaystyle zeta _ {m} = 0}$, ${ displaystyle y_ {m} = 0,8702}$ a ${ displaystyle k = 0,6711}$.

Viz také

• Liñánova teorie difúzního plamene

Reference