Leray – Hirschova věta - Leray–Hirsch theorem

v matematika, Leray – Hirschova věta^[1] je základní výsledek na algebraická topologie z svazky vláken. Je pojmenován po Jean Leray a Guy Hirsch, který to nezávisle dokázal na konci 40. let. Lze to považovat za mírné zobecnění Künneth vzorec, který počítá cohomologii produktového prostoru jako tenzorový produkt cohomologií přímých faktorů. Jedná se o velmi zvláštní případ Lerayova spektrální sekvence.

Tvrzení

Založit

Nechat ${ displaystyle pi dvojtečka E longrightarrow B}$být svazek vláken s vláknem ${ displaystyle F}$. Předpokládejme, že pro každý stupeň ${ displaystyle p}$, singulární kohomologie Racionální vektorový prostor

${ displaystyle H ^ {p} (F) = H ^ {p} (F; mathbb {Q})}$

je konečně-dimenzionální, a to začlenění

${ displaystyle iota dvojtečka F longrightarrow E}$

indukuje a surjection v racionální kohomologii

${ displaystyle iota ^ {*} dvojtečka H ^ {*} (E) longrightarrow H ^ {*} (F)}$.

Zvažte a sekce tohoto překvapení

${ displaystyle s dvojtečka H ^ {*} (F) longrightarrow H ^ {*} (E)}$,

podle definice tato mapa vyhovuje

${ displaystyle iota ^ {*} circ s = mathrm {Id}}$.

Leray – Hirschův izomorfismus

Věta Leray – Hirsch uvádí, že lineární mapa

${ displaystyle { begin {array} {ccc} H ^ {*} (F) otimes H ^ {*} (B) & longrightarrow & H ^ {*} (E) alpha otimes beta & longmapsto & s ( alpha) smallsmile pi ^ {*} ( beta) end {pole}}}$

je izomorfismus z ${ displaystyle H ^ {*} (B)}$- moduly.

Výrok v souřadnicích

Jinými slovy, pokud pro každého ${ displaystyle p}$existují třídy

${ displaystyle c_ {1, p}, ldots, c_ {m_ {p}, p} v H ^ {p} (E)}$

které omezují, na každé vlákno ${ displaystyle F}$, na základě cohomologie v míře ${ displaystyle p}$, níže uvedená mapa je pak izomorfismus z ${ displaystyle H ^ {*} (B)}$ moduly.

${ displaystyle { begin {array} {ccc} H ^ {*} (F) otimes H ^ {*} (B) & longrightarrow & H ^ {*} (E) součet _ {i, j , k} a_ {i, j, k} iota ^ {*} (c_ {i, j}) otimes b_ {k} & longmapsto & sum _ {i, j, k} a_ {i, j , k} c_ {i, j} klín pi ^ {*} (b_ {k}) end {pole}}}$

kde ${ displaystyle {b_ {k} }}$ je základem pro ${ displaystyle H ^ {*} (B)}$ a tím vyvolává základ ${ displaystyle { iota ^ {*} (c_ {i, j}) další krát b_ {k} }}$ pro ${ displaystyle H ^ {*} (F) mnohokrát H ^ {*} (B).}$

Poznámky