Úprava nejmenších čtverců - Least squares adjustment - Wikipedia

Úprava nejmenších čtverců je model pro řešení předurčený systém rovnic založených na principu nejmenší čtverce z zbytky z pozorování. Používá se ve velké míře v oborech geodetické, geodézie, a fotogrammetrie —Oblasti geomatika kolektivně.

Formulace

Existují tři formy úpravy nejmenších čtverců: parametrické, podmiňovací způsob, a kombinovaný. v parametrické nastavení, lze najít pozorovací rovnici h (X) = Y související pozorování Y výslovně z hlediska parametrů X (vedoucí k A-modelu níže). v podmíněné přizpůsobení, existuje podmínková rovnice, která je g (Y) = 0 zahrnující pouze pozorování Y (vedoucí k B-modelu níže) - bez parametrů X vůbec. Nakonec v a kombinovaná úprava, oba parametry X a pozorování Y jsou implicitně zahrnuty do rovnice smíšeného modelu f (X, Y) = 0. Je zřejmé, že parametrické a podmíněné úpravy odpovídají obecnějším kombinovaným případům, kdy f (X, Y) = h (X) -Y a f (X, Y) = g (Y), resp. Zvláštní případy přesto vyžadují jednodušší řešení, jak je podrobně uvedeno níže. V literatuře často Y mohou být označeny L.

Řešení

Rovnosti nahoře platí pouze pro odhadované parametry ${ displaystyle { hat {X}}}$ a pozorování ${ displaystyle { hat {Y}}}$, tím pádem ${ displaystyle f left ({ hat {X}}, { hat {Y}} right) = 0}$. Naproti tomu měřená pozorování ${ displaystyle { tilde {Y}}}$ a přibližné parametry ${ displaystyle { tilde {X}}}$ vyrobit nenulovou hodnotu misclosure:

${ displaystyle { tilde {w}} = f left ({ tilde {X}}, { tilde {Y}} right).}$

Jeden může pokračovat Taylor série expanze rovnic, což má za následek Jacobians nebo designové matice: první,

${ displaystyle A = částečné {f} / částečné {X};}$

a ten druhý,

${ displaystyle B = částečné {f} / částečné {Y}.}$

Linearizovaný model pak zní:

${ displaystyle { tilde {w}} + A { hat {x}} + B { hat {y}} = 0,}$

kde ${ displaystyle { hat {x}} = { hat {X}} - { tilde {X}}}$ jsou odhadovány opravy parametrů do a priori hodnoty a ${ displaystyle { hat {y}} = { hat {Y}} - { tilde {Y}}}$ jsou post-fit pozorování zbytky.

V parametrické úpravě je druhou konstrukční maticí identita, B = -Ia různý vektor lze interpretovat jako předem připravené zbytky, ${ displaystyle { tilde {y}} = { tilde {w}} = h ({ tilde {X}}) - { tilde {Y}}}$, takže systém zjednodušuje:

${ displaystyle A { hat {x}} = { hat {y}} - { tilde {y}},}$

který je ve formě obyčejné nejmenší čtverce. V podmíněné úpravě je první matice návrhu nulová, A = 0U obecnějších případů Lagrangeovy multiplikátory jsou představeny, aby spojily dvě Jacobian matice a transformovaly omezený problém nejmenších čtverců do neomezeného (i když většího) problému. V každém případě jejich manipulace vede k ${ displaystyle { hat {X}}}$ a ${ displaystyle { hat {Y}}}$ vektory, jakož i příslušné parametry a pozorování a posteriori kovarianční matice.

Výpočet

Vzhledem k výše uvedeným maticím a vektorům je jejich řešení nalezeno pomocí standardních metod nejmenších čtverců; např. formování normální matice a přihlašování Choleský rozklad, použití QR faktorizace přímo do Jacobian matrix, iterační metody pro velmi velké systémy atd.

Vypracované příklady

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Červen 2014)

Aplikace

• Nivelace, přejít, a kontrolní sítě
• Úprava svazku
• Triangulace, Trilaterace, Triangulaterace
• GPS /Umístění GNSS
• Helmertova transformace

Související pojmy

• Parametrické nastavení je podobné jako u většiny regresní analýza a shoduje se s Gauss – Markovův model
• Kombinovaná úprava, známá také jako Gauss – Helmertův model,^[1][2] (pojmenováno podle německých matematiků / geodetů C.F. Gauss a F.R. Helmert ) souvisí s modely chyb v proměnných^[3]

• Použití a priori parametrická kovarianční matice je podobná Tichonovova regularizace

Rozšíření

Li nedostatek hodnosti může být často napraveno zahrnutím dalších rovnic, které omezují parametry a / nebo pozorování, což vede k omezené nejmenší čtverce.

Reference

Bibliografie

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Červen 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Přednášky a technické zprávy

• Nico Sneeuw a Friedhelm Krum, „Teorie přizpůsobení“, Geodätisches Institut, Universität Stuttgart, 2014
• Krakiwsky, „Syntéza posledních pokroků v metodě nejmenších čtverců“ „Lecture Notes # 42, Department of Geodesy and Geomatics Engineering, University of New Brunswick, 1975
• Cross, P.A. "Pokročilé nejmenší čtverce aplikované na fixaci polohy", University of East London, Zeměměřická škola, pracovní dokument č. 6, ISSN  0260-9142, Leden 1994. První vydání, duben 1983, přetištěno s opravami, leden 1990. (Original Working Papers, North East London Polytechnic, Geodetické oddělení, 205 stran, 1983.)
• Sníh, Kyle B., Aplikace odhadu parametrů a testování hypotéz na úpravy sítě GPS, Oddělení geodetických věd, Ohio State University, 2002

Knihy a kapitoly

• Reino Antero Hirvonen „Úpravy podle nejmenších čtverců v geodézii a fotogrammetrii“, Ungar, New York. 261 s., ISBN  0804443971, ISBN  978-0804443975, 1971.
• Edward M. Mikhail, Friedrich E. Ackermann, "Pozorování a nejmenší čtverce", University Press of America, 1982
• Vlk, Paul R. (1995). "Úpravy měření průzkumu o nejmenší čtverce". Geodetická příručka. 383–413. doi:10.1007/978-1-4615-2067-2_16.
• Peter Vaníček a E.J. Krakiwsky, „Geodézie: koncepty“. Amsterdam: Elsevier. (třetí vydání): ISBN  0-444-87777-0, ISBN  978-0-444-87777-2; kap. 12, „Řešení nejmenších čtverců předurčených modelů“, s. 202–213, 1986.
• Gilbert Strang a Kai Borre, „Linear Algebra, Geodesy, and GPS“, SIAM, 624 stran, 1997.
• Paul Wolf a Bon DeWitt, „Elements of Photogrammetry with Applications in GIS“, McGraw-Hill, 2000
• Karl-Rudolf Koch, "Odhad parametrů a testování hypotéz v lineárních modelech", vydání 2a, Springer, 2000
• P.J.G. Teunissen, „Teorie úprav, úvod“, Delft Academic Press, 2000
• Edward M. Mikhail, James S. Bethel, J. Chris McGlone, „Úvod do moderní fotogrammetrie“, Wiley, 2001
• Harvey, Bruce R., „Praktická metoda nejmenších čtverců a statistika pro zeměměřiče“, Monografie 13, třetí vydání, Škola geodetických a prostorových informačních systémů, University of New South Wales, 2006
• Huaan Fan, „Theory of Errors and Least Squares Adjustment“, Královský technologický institut (KTH), divize geodézie a geoinformatiky, Stockholm, Švédsko, 2010, ISBN  91-7170-200-8.
• Gielsdorf, F .; Hillmann, T. (2011). "Matematika a statistika". Springer Handbook of Geographic Information. p. 7. doi:10.1007/978-3-540-72680-7_2. ISBN  978-3-540-72678-4.
• Charles D. Ghilani, „Výpočty úprav: analýza prostorových dat“, John Wiley & Sons, 2011
• Charles D. Ghilani a Paul R. Wolf, „Elementary Surveying: An Introduction to Geomatics“, 13. vydání, Prentice Hall, 2011
• Erik Grafarend a Joseph Awange, „Aplikace lineárních a nelineárních modelů: pevné efekty, náhodné efekty a celkem nejméně čtverců“, Springer, 2012
• Alfred Leick, Lev Rapoport a Dmitrij Tatarnikov, „GPS Satellite Surveying“, 4. vydání, John Wiley & Sons, ISBN  9781119018612; Kapitola 2, „Úpravy nejmenších čtverců“, s. 11–79, doi: 10,1002 / 9781119018612.ch2
• A. Fotiou (2018) „A Discussion on Least Squares Adjustment with Worked examples“ In: Fotiou A., D. Rossikopoulos, eds. (2018): „Quod erat demonstrandum. Při hledání dokonalého geodetického vhledu. “ Zvláštní vydání pro emeritního profesora Athanasios Dermanis. Publikace School of Rural and Surveying Engineering, Aristotle Universsity of Thessaloniki, 405 stran. ISBN  978-960-89704-4-1 [3]
• John Olusegun Ogundare (2018), „Understanding Least Squares Estimation and Geomatics Data Analysis“, John Wiley & Sons, 720 pages, ISBN  9781119501404.