Věta o kontinuitě Lévys - Lévys continuity theorem - Wikipedia

v teorie pravděpodobnosti, Lévyho věta o kontinuitěnebo Lévyho věta o konvergenci,^[1] pojmenoval podle francouzštiny matematik Paul Lévy, spojuje konvergence v distribuci posloupnosti náhodných proměnných s bodová konvergence Jejich charakteristické funkce. Tato věta je základem pro jeden přístup k prokázání teorém centrálního limitu a je to jedna z hlavních vět o charakteristických funkcích.

Prohlášení

Předpokládejme, že máme

posloupnost náhodné proměnné ${ textstyle {X_ {n} } _ {n = 1} ^ { infty}}$ , nemusí nutně sdílet společné pravděpodobnostní prostor,
sled odpovídajících charakteristické funkce ${ textstyle { varphi _ {n} } _ {n = 1} ^ { infty}}$ , které podle definice jsou
${ displaystyle varphi _ {n} (t) = operatorname {E} e ^ {itX_ {n}} quad forall t in mathbb {R}, forall n in mathbb {N} ,}$
kde ${ displaystyle operatorname {E}}$ je očekávaná hodnota operátor.

Pokud posloupnost charakteristických funkcí konverguje bodově k nějaké funkci ${ displaystyle varphi}$

{ displaystyle varphi _ {n} (t) až varphi (t) quad forall t in mathbb {R},}

pak se následující tvrzení stanou ekvivalentními:

${ displaystyle X_ {n}}$ konverguje v distribuci některým náhodná proměnná X
${ displaystyle X_ {n} { xrightarrow { mathcal {D}}} X,}$
tj. kumulativní distribuční funkce odpovídající náhodným proměnným konvergují v každém bodě kontinuity c.d.f. zX;
${ textstyle {X_ {n} } _ {n = 1} ^ { infty}}$ je těsný:
${ displaystyle lim _ {x to infty} left ( sup _ {n} operatorname {P} { big [} , | X_ {n} |> x , { big]} vpravo) = 0;}$
${ displaystyle varphi (t)}$ je charakteristická funkce nějaké náhodné proměnné X;
${ displaystyle varphi (t)}$ je spojitá funkce z t;
${ displaystyle varphi (t)}$ je kontinuální na t = 0.

K dispozici jsou důkladné důkazy o této větě.^[1]^[2]

^ ^A ^b Williams, D. (1991). Pravděpodobnost u Martingales. Cambridge University Press. oddíl 18.1. ISBN 0-521-40605-6.
^ Fristedt, B. E .; Gray, L. F. (1996). Moderní přístup k teorii pravděpodobnosti. Boston: Birkhäuser. Věty 14.15 a 18.21. ISBN 0-8176-3807-5.