Krullsova věta - Krulls theorem - Wikipedia

v matematika a konkrétněji v teorie prstenů, Krullův teorém, pojmenoval podle Wolfgang Krull tvrdí, že a nenulové prsten^[1] má alespoň jeden maximální ideál. Věta byla prokázána v roce 1929 Krullem, který použil transfinitní indukce. Věta připouští a jednoduchý důkaz pomocí Zornova lematu, a ve skutečnosti je ekvivalentní s Zornovo lemma,^[2] což je ekvivalentní s axiom volby.

Varianty

• Pro nekomutativní prsteny, analogie pro maximální levé ideály a maximální pravé ideály také platí.
• Pro pseudokroužky, věta platí pro pravidelné ideály.
• Mírně silnější (ale ekvivalentní) výsledek, který lze dokázat podobným způsobem, je následující:

Nechat R být prsten, a nechť Já být správný ideál z R. Pak je tu maximální ideál R obsahující Já.

Tento výsledek implikuje původní větu Já být nula ideální (0). Naopak použití původní věty na R/Já vede k tomuto výsledku.

Chcete-li přímo dokázat silnější výsledek, zvažte sadu S všech správných ideálů R obsahující Já. Sada S je od té doby neprázdné Já ∈ S. Dále pro jakýkoli řetěz T z S, spojení ideálů v T je ideální Ja svazek ideálů neobsahujících 1 neobsahuje 1, takže J ∈ S. Zornovým lemmatem, S má maximální prvek M. Tento M je maximální ideál obsahující Já.

Krull's Hauptidealsatz

Další teorém běžně označovaný jako Krullův teorém:

Nechat ${ displaystyle R}$ být noetherianským prstenem a ${ displaystyle a}$ prvek ${ displaystyle R}$ což není ani nulový dělitel ani a jednotka. Pak každý minimální hlavní ideál ${ displaystyle P}$ obsahující ${ displaystyle a}$ má výška 1.

Poznámky

Reference

• Krull, W. (1929). „Idealtheorie v Ringen ohne Endlichkeitsbedingungen“. Mathematische Annalen. 101 (1): 729–744. doi:10.1007 / BF01454872.
• Hodges, W. (1979). „Krull implikuje Zorna“. Journal of the London Mathematical Society. s2-19 (2): 285–287. doi:10.1112 / jlms / s2-19.2.285.