Kroneckerův koeficient - Kronecker coefficient - Wikipedia

V matematice Kroneckerovy koeficienty G^λ_μν popsat rozklad tenzorový produkt (= Produkt Kronecker ) ze dvou neredukovatelné reprezentace a symetrická skupina do neredukovatelných reprezentací. Hrají důležitou roli algebraická kombinatorika a teorie geometrické složitosti. Byli představeni Murnaghan v roce 1938.

Definice

Vzhledem k rozdělení λ o n, psát si PROTI_λ pro Specht modul spojené s λ. Pak Kroneckerovy koeficienty G^λ_μν jsou dány pravidlem

${ displaystyle V _ { mu} další V _ { nu} = bigoplus _ { lambda} g _ { mu nu} ^ { lambda} V _ { lambda}.}$

Lze to interpretovat na úrovni symetrické funkce, což dává vzorec pro produkt Kronecker ze dvou Schurovy polynomy:

${ displaystyle s _ { mu} hvězda s _ { nu} = součet _ { lambda} g _ { mu nu} ^ { lambda} s _ { lambda}.}$

To je třeba porovnat s Koeficienty Littlewood – Richardson, kde se místo toho uvažuje o indukované reprezentaci

${ displaystyle uparrow _ {S_ {| mu |} krát S_ {| nu |}} ^ {S_ {| lambda |}} left (V _ { mu} otimes V _ { nu} vpravo) = bigoplus _ { lambda} c _ { mu nu} ^ { lambda} V _ { lambda},}$

a odpovídající operace symetrických funkcí je obvyklým produktem. Všimněte si také, že Littlewood – Richardsonovy koeficienty jsou analogií Kroneckerových koeficientů pro reprezentaci GL_n, tj. pokud píšeme Ž_λ pro neredukovatelné zastoupení odpovídající λ (kde λ má nanejvýš n části), jeden to dostane

${ displaystyle W _ { mu} další W _ { nu} = bigoplus _ { lambda} c _ { mu nu} ^ { lambda} W _ { lambda}.}$

Vlastnosti

Bürgisser & Ikenmeyer (2008) ukázal, že výpočet Kroneckerových koeficientů je # P-tvrdé a obsažené v GapP. Nedávné dílo od Ikenmeyer, Mulmuley & Walter (2017) ukazuje, že rozhodnutí, zda je daný Kroneckerův koeficient nenulový, je NP-tvrdé.^[1] Tento nedávný zájem o výpočetní složitost těchto koeficientů vyplývá z jeho relevance pro Teorie geometrické složitosti program.

Hlavním nevyřešeným problémem v teorii reprezentace a kombinatorice je poskytnout kombinatorický popis Kroneckerových koeficientů. Otevřeno je od roku 1938, kdy Murnaghan požádal o takový kombinatorický popis.^[2] Kombinatorický popis by také znamenal, že problém je # P-kompletní ve světle výše uvedeného výsledku.

Kroneckerovy koeficienty lze vypočítat jako

${ displaystyle g ( lambda, mu, nu) = { frac {1} {n!}} součet _ { sigma v S_ {n}} chi ^ { lambda} ( sigma) chi ^ { mu} ( sigma) chi ^ { nu} ( sigma),}$

kde ${ displaystyle chi ^ { lambda} ( sigma)}$ je hodnota znaku neredukovatelné reprezentace odpovídající rozdělit ${ displaystyle lambda}$ na permutaci ${ displaystyle sigma v S_ {n}}$.

Kroneckerovy koeficienty se objevují také v generalizované Cauchyově identitě

${ displaystyle sum _ { lambda, mu, nu} g ( lambda, mu, nu) s _ { lambda} (x) s _ { mu} (y) s _ { nu} (z ) = prod _ {i, j, k} { frac {1} {1-x_ {i} y_ {j} z_ {k}}}.}$

Viz také

• Koeficient Littlewood – Richardson

Reference

• Bürgisser, Peter; Ikenmeyer, Christian (2008), „Složitost výpočtu Kroneckerových koeficientů“, 20. výroční mezinárodní konference o formálních výkonových řadách a algebraické kombinatorice (FPSAC 2008), Diskrétní matematika. Teor. Comput. Sci. Proc., AJ, Doc. Diskrétní matematika. Teor. Comput. Sci., Nancy, str. 357–368, PAN  2721467