Kolmogorov – Arnoldova věta o reprezentaci - Kolmogorov–Arnold representation theorem

v skutečná analýza a teorie aproximace, Kolmogorov – Arnoldova věta o reprezentaci (nebo věta o superpozici) uvádí, že každý vícerozměrný kontinuální funkce lze reprezentovat jako superpozici spojitých funkcí jedné proměnné. Vyřešilo to omezenější a ještě obecnější formu Hilbertův třináctý problém.^[1][2]

Práce Andrey Kolmogorov a Vladimír Arnold stanovil, že pokud F je tedy vícerozměrná spojitá funkce F lze psát jako konečný složení spojitých funkcí jedné proměnné a binární operace z přidání.^[3] Konkrétněji,

${ displaystyle f ( mathbf {x}) = f (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = součet _ {q = 0} ^ {2n} Phi _ {q} vlevo ( součet _ {p = 1} ^ {n} phi _ {q, p} (x_ {p}) right)}$.

Konstrukční důkazy a ještě konkrétnější konstrukce lze nalézt v.^[4]

V jistém smyslu ukázali, že jedinou skutečnou vícerozměrnou funkcí je součet, protože každou další funkci lze zapsat pomocí univariate funkce a sčítání.^[5]

Dějiny

Věta o reprezentaci Kolmogorov – Arnold úzce souvisí Hilbertův 13. problém. V jeho Paříž přednáška na Mezinárodní kongres matematiků v roce 1900, David Hilbert formuloval 23 problémů které byly podle jeho názoru důležité pro další rozvoj matematiky.^[6] Třináctý z těchto problémů se zabýval řešením obecných rovnic vyšších stupňů. Je známo, že pro algebraické rovnice stupně 4 lze řešení vypočítat pomocí vzorců, které obsahují pouze radikály a aritmetické operace. U vyšších objednávek Galoisova teorie nám ukazuje, že řešení algebraických rovnic nelze vyjádřit pomocí základních algebraických operací. Vyplývá to z tzv Transformace Tschirnhaus že obecná algebraická rovnice

${ displaystyle x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + cdots + a_ {0} = 0}$

lze přeložit do formuláře ${ displaystyle y ^ {n} + b_ {n-4} y ^ {n-4} + cdots + b_ {1} y + 1 = 0}$. Tschirnhausova transformace je dána vzorcem obsahujícím pouze radikály a aritmetické operace a transformace. Proto řešení algebraické rovnice stupně ${ displaystyle n}$ lze reprezentovat jako superpozici funkcí dvou proměnných, pokud ${ displaystyle n <7}$ a jako superpozice funkcí ${ displaystyle n-4}$ proměnné, pokud ${ displaystyle n geq 7}$. Pro ${ displaystyle n = 7}$ řešením je superpozice aritmetických operací, radikálů a řešení rovnice ${ displaystyle y ^ {7} + b_ {3} y ^ {3} + b_ {2} y ^ {2} + b_ {1} y + 1 = 0}$.

Další zjednodušení s algebraickými transformacemi se zdá být nemožné, což vedlo k Hilbertově domněnce, že „Řešení obecné rovnice stupně 7 nelze představovat jako superpozici spojitých funkcí dvou proměnných“. To vysvětluje vztah Hilbertův třináctý problém k reprezentaci funkce vyšší dimenze jako superpozice funkcí nižší dimenze. V této souvislosti podnítila řadu studií v teorii funkcí a dalších souvisejících problémech od různých autorů.^[7]

Varianty

Varianta Kolmogorovovy věty, která snižuje počet vnějších funkcí ${ displaystyle Phi _ {q}}$ je to kvůli George Lorentz.^[8] V roce 1962 ukázal, že vnější funkce ${ displaystyle Phi _ {q}}$ lze nahradit jedinou funkcí ${ displaystyle Phi}$. Přesněji řečeno, Lorentz dokázal existenci funkcí ${ displaystyle phi _ {q, p}}$, ${ displaystyle q = 0,1, ldots, 2n}$, ${ displaystyle p = 1, ldots, n,}$ takhle

${ displaystyle f ( mathbf {x}) = součet _ {q = 0} ^ {2n} Phi left ( sum _ {p = 1} ^ {n} phi _ {q, p} ( x_ {p}) right)}$.

David Sprecher^[9] nahradil vnitřní funkce ${ displaystyle phi _ {q, p}}$ jedinou vnitřní funkcí s příslušným posunem v argumentu. Dokázal, že existují skutečné hodnoty ${ displaystyle eta, lambda _ {1}, ldots, lambda _ {n}}$, spojitá funkce ${ displaystyle Phi colon mathbb {R} rightarrow mathbb {R}}$a skutečná rostoucí spojitá funkce ${ displaystyle phi tlusté střevo [0,1] pravá šipka [0,1]}$ s ${ displaystyle phi in operatorname {Lip} ( ln 2 / ln (2N + 2))}$, pro ${ displaystyle N geq n geq 2}$, takový, že

${ displaystyle f ( mathbf {x}) = součet _ {q = 0} ^ {2n} Phi left ( sum _ {p = 1} ^ {n} lambda _ {p} phi ( x_ {p} + eta q) + q right)}$.

Phillip A. Ostrand ^[10] zobecnil Kolmogorovovu superpoziční větu na kompaktní metrické prostory. Pro ${ displaystyle p = 1, ldots, m}$ nechat ${ displaystyle X_ {p}}$ být kompaktní metrické prostory konečné dimenze ${ displaystyle n_ {p}}$ a nechte ${ displaystyle n = součet _ {p = 1} ^ {m} n_ {p}}$. Pak existují spojité funkce ${ displaystyle phi _ {q, p} dvojtečka X_ {p} rightarrow [0,1], q = 0, ldots, 2n, p = 1, ldots, m}$ a spojité funkce ${ displaystyle G_ {q} dvojtečka [0,1] rightarrow mathbb {R}, q = 0, ldots, 2n}$ takové, že jakákoli spojitá funkce ${ displaystyle f dvojtečka X_ {1} krát tečky krát X_ {m} rightarrow mathbb {R}}$ je reprezentovatelný ve formě

${ displaystyle f (x_ {1}, ldots, x_ {m}) = sum _ {q = 0} ^ {2n} G_ {q} left ( sum _ {p = 1} ^ {m} phi _ {q, p} (x_ {p}) right)}$.

Omezení

Věta obecně neplatí pro složité vícerozměrné funkce, jak je popsáno zde.^[11] Nehladkost vnitřních funkcí a jejich „divoké chování“ navíc omezilo praktické využití reprezentace,^[12] ačkoli o tom existuje nějaká debata ^[13]

Viz také

• Univerzální věta o aproximaci

Reference

Zdroje

• Andrey Kolmogorov, "O reprezentaci spojitých funkcí několika proměnných superpozicemi spojitých funkcí menšího počtu proměnných", Sborník Akademie věd SSSR, 108 (1956), str. 179–182; Anglický překlad: Amer. Matematika. Soc. Transl., 17 (1961), str. 369–373.
• Vladimír Arnold, "O funkcích tří proměnných", Sborník Akademie věd SSSR114 (1957), str. 679–681; Anglický překlad: Amer. Matematika. Soc. Transl., 28 (1963), s. 51–54.

Další čtení

• S. Ya. Khavinson, Nejlepší aproximace lineárními superpozicemi (přibližná nomografie)„AMS Translations of Mathematical Monographs (1997)

externí odkazy

• Algoritmus hlubokého strojového učení pro konstrukci reprezentace Kolmogorov-Arnold.