Kolmogorovova věta o třech řadách - Kolmogorovs three-series theorem - Wikipedia

v teorie pravděpodobnosti, Kolmogorovova věta o třech sériích, pojmenoval podle Andrey Kolmogorov, dává kritérium pro téměř jistě konvergence z nekonečná řada z náhodné proměnné z hlediska konvergence tří různých řad zahrnujících vlastnosti jejich rozdělení pravděpodobnosti. Kolmogorovova věta o třech sériích v kombinaci s Kroneckerovo lemma, lze použít k relativně snadnému prokázání Silný zákon velkých čísel.^[1]

Výrok věty

Nechat ${ displaystyle (X_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ být nezávislé náhodné proměnné. Náhodná řada ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} X_ {n}}$ konverguje téměř jistě v ${ displaystyle mathbb {R}}$ pokud pro některé platí následující podmínky ${ displaystyle A> 0}$, a to pouze v případě, že pro některé platí následující podmínky ${ displaystyle A> 0}$:

Důkaz

Dostatečnost podmínek („pokud“)

Podmínka (i) a Borel – Cantelli dej to ${ displaystyle X_ {n} = Y_ {n}}$ pro ${ displaystyle n}$ velký, téměř jistě. Proto ${ displaystyle textstyle sum _ {n = 1} ^ { infty} X_ {n}}$ konverguje právě tehdy ${ displaystyle textstyle sum _ {n = 1} ^ { infty} Y_ {n}}$ konverguje. Podmínky ii) - (iii) a Kolmogorovova věta o dvou sériích dejte téměř jistou konvergenci ${ displaystyle textstyle sum _ {n = 1} ^ { infty} Y_ {n}}$.

Nutnost podmínek („pouze pokud“)

Předpokládejme to ${ displaystyle textstyle sum _ {n = 1} ^ { infty} X_ {n}}$ konverguje téměř jistě.

Bez podmínky (i) by Borel – Cantelli nějaké existovaly ${ displaystyle A> 0}$ takhle ${ displaystyle {| X_ {n} | geq A }}$ pro nekonečně mnoho ${ displaystyle n}$, téměř jistě. Ale pak by se série rozcházela. Proto musíme mít podmínku (i).

Vidíme, že podmínka (iii) implikuje podmínku (ii): Kolmogorovova věta o dvou sériích spolu s podmínkou (i) použitou na případ ${ displaystyle A = 1}$ dává konvergenci ${ displaystyle textstyle sum _ {n = 1} ^ { infty} (Y_ {n} - mathbb {E} [Y_ {n}])}}$. Vzhledem ke konvergenci ${ displaystyle textstyle sum _ {n = 1} ^ { infty} Y_ {n}}$, my máme ${ displaystyle textstyle sum _ {n = 1} ^ { infty} mathbb {E} [Y_ {n}]}$ konverguje, takže podmínka (ii) je implicitní.

Zbývá tedy jen prokázat nezbytnost podmínky (iii) a my získáme úplný výsledek. Je to ekvivalent kontroly podmínky (iii) pro sérii${ displaystyle textstyle sum _ {n = 1} ^ { infty} Z_ {n} = textstyle sum _ {n = 1} ^ { infty} (Y_ {n} -Y '_ {n} )}$ kde pro každého ${ displaystyle n}$, ${ displaystyle Y_ {n}}$ a ${ displaystyle Y '_ {n}}$ jsou IID - to znamená použít předpoklad, že ${ displaystyle mathbb {E} [Y_ {n}] = 0}$, od té doby ${ displaystyle Z_ {n}}$ je posloupnost náhodných proměnných ohraničená 2, konvergující téměř jistě as ${ displaystyle mathrm {var} (Z_ {n}) = 2 mathrm {var} (Y_ {n})}$. Chtěli bychom to zkontrolovat, pokud ${ displaystyle textstyle sum _ {n = 1} ^ { infty} Z_ {n}}$ tedy konverguje ${ displaystyle textstyle sum _ {n = 1} ^ { infty} mathrm {var} (Z_ {n})}$ konverguje také. Toto je speciální případ obecnějšího výsledku z teorie martingale se summandy rovnými přírůstkům a martingale sekvence a stejné podmínky (${ displaystyle mathbb {E} [Z_ {n}] = 0}$; série odchylky konverguje; a sčítání jsou ohraničený ).^[2][3][4]

Příklad

Pro ilustraci věty zvažte příklad harmonická řada s náhodnými znaky:

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} pm { frac {1} {n}}.}$

Tady, "${ displaystyle pm}$„znamená, že každý výraz ${ displaystyle 1 / n}$ je bráno náhodným znaménkem, které je buď ${ displaystyle 1}$ nebo ${ displaystyle -1}$ s příslušnými pravděpodobnostmi ${ displaystyle 1/2, 1/2}$a všechny náhodné znaky jsou vybrány nezávisle. Nechat ${ displaystyle X_ {n}}$ ve větě označíme náhodnou proměnnou, která přebírá hodnoty ${ displaystyle 1 / n}$ a ${ displaystyle -1 / n}$ se stejnou pravděpodobností. S ${ displaystyle A = 2}$ součty prvních dvou řad jsou identicky nulové a var (Y_n)=${ displaystyle n ^ {- 2}}$. Podmínky věty jsou poté splněny, takže z toho vyplývá, že harmonická řada s náhodnými znaménky konverguje téměř jistě. Na druhou stranu je to analogická řada (například) odmocnin s reciprokály s náhodnými znaménky, jmenovitě

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} pm { frac {1} { sqrt {n}}},}$

rozchází se téměř jistě, protože podmínka (3) ve větě není splněna. Všimněte si, že se to liší od chování analogické řady s střídavý znamení, ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} / { sqrt {n}}}$, který se sblíží.

Poznámky