Kroneckersovo lemma - Kroneckers lemma - Wikipedia

v matematika, Kroneckerovo lemma (viz např. Shiryaev (1996, Lemma IV.3.2)) je výsledkem vztahu mezi konvergencí nekonečné částky a konvergence sekvencí. Lemma se často používá v důkazech vět o součtech nezávislých náhodných proměnných, jako jsou silné Zákon velkých čísel. Lema je pojmenována po Němec matematik Leopold Kronecker.

Lemma

Li ${ displaystyle (x_ {n}) _ {n = 1} ^ { infty}}$ je nekonečná posloupnost reálných čísel taková, že

${ displaystyle sum _ {m = 1} ^ { infty} x_ {m} = s}$

existuje a je konečný, pak máme pro všechny ${ displaystyle 0$ a ${ displaystyle b_ {n} do infty}$ že

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {1} {b_ {n}}} součet _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} x_ {k} = 0.}$

Důkaz

Nechat ${ displaystyle S_ {k}}$ označit dílčí součty X's. Použitím součet podle částí,

${ displaystyle { frac {1} {b_ {n}}} sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} x_ {k} = S_ {n} - { frac {1} {b_ {n}}} sum _ {k = 1} ^ {n-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) S_ {k}}$

Vyberte libovolné ε > 0. Nyní vyberte N aby ${ displaystyle S_ {k}}$ je ε-blízko k s pro k > N. To lze provést jako sekvenci ${ displaystyle S_ {k}}$ konverguje k s. Pravá strana je pak:

${ displaystyle S_ {n} - { frac {1} {b_ {n}}} sum _ {k = 1} ^ {N-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) S_ { k} - { frac {1} {b_ {n}}} sum _ {k = N} ^ {n-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) S_ {k}}$

${ displaystyle = S_ {n} - { frac {1} {b_ {n}}} součet _ {k = 1} ^ {N-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) S_ {k} - { frac {1} {b_ {n}}} sum _ {k = N} ^ {n-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) s - { frac { 1} {b_ {n}}} sum _ {k = N} ^ {n-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) (S_ {k} -s)}$

${ displaystyle = S_ {n} - { frac {1} {b_ {n}}} součet _ {k = 1} ^ {N-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) S_ {k} - { frac {b_ {n} -b_ {N}} {b_ {n}}} s - { frac {1} {b_ {n}}} sum _ {k = N} ^ { n-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) (S_ {k} -s).}$

Nyní, pojďme n jít do nekonečna. První termín jde do s, která se ruší třetím termínem. Druhý člen jde na nulu (protože suma je pevná hodnota). Protože b posloupnost se zvyšuje, poslední člen je ohraničen ${ displaystyle epsilon (b_ {n} -b_ {N}) / b_ {n} leq epsilon}$.

Reference

Tento matematická analýza –Vztahující se článek je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.