Kolmogorovova věta o dvou sériích - Kolmogorovs two-series theorem - Wikipedia

v teorie pravděpodobnosti, Kolmogorovova věta o dvou sériích je výsledkem konvergence náhodných řad. Vyplývá to z Kolmogorovova nerovnost a je použit v jednom dokladu o silný zákon velkého počtu.

Výrok věty

Nechat ${ displaystyle left (X_ {n} right) _ {n = 1} ^ { infty}}$ být nezávislé náhodné proměnné s očekávané hodnoty ${ displaystyle mathbf {E} doleva [X_ {n} doprava] = mu _ {n}}$ a odchylky ${ displaystyle mathbf {Var} vlevo (X_ {n} vpravo) = sigma _ {n} ^ {2}}$, takový, že ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} mu _ {n}}$ konverguje v ℝ a ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} sigma _ {n} ^ {2}}$ konverguje v ℝ. Pak ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} X_ {n}}$ konverguje v ℝ téměř jistě.

Důkaz

Převzít WLOG ${ displaystyle mu _ {n} = 0}$. Soubor ${ displaystyle S_ {N} = součet _ {n = 1} ^ {N} X_ {n}}$a uvidíme to ${ displaystyle limsup _ {N} S_ {N} - liminf _ {N} S_ {N} = 0}$ s pravděpodobností 1.

Pro každého ${ displaystyle m in mathbb {N}}$,

$${ displaystyle limsup _ {N to infty} S_ {N} - liminf _ {N to infty} S_ {N} = limsup _ {N to infty} vlevo (S_ {N} -S_ {m} right) - liminf _ {N to infty} left (S_ {N} -S_ {m} right) leq 2 max _ {k in mathbb {N}} left | sum _ {i = 1} ^ {k} X_ {m + i} right |}$$

Tedy pro každého ${ displaystyle m in mathbb {N}}$ a ${ displaystyle epsilon> 0}$,

$${ displaystyle { begin {aligned} mathbb {P} left ( limsup _ {N to infty} left (S_ {N} -S_ {m} right) - liminf _ {N to infty} left (S_ {N} -S_ {m} right) geq epsilon right) & leq mathbb {P} left (2 max _ {k in mathbb {N}} left | sum _ {i = 1} ^ {k} X_ {m + i} right | geq epsilon right) & = mathbb {P} left ( max _ {k v mathbb {N}} vlevo | sum _ {i = 1} ^ {k} X_ {m + i} vpravo | geq { frac { epsilon} {2}} vpravo) & leq limsup _ {N to infty} 4 epsilon ^ {- 2} sum _ {i = m + 1} ^ {m + N} sigma _ {i} ^ {2} & = 4 epsilon ^ {- 2} lim _ {N to infty} sum _ {i = m + 1} ^ {m + N} sigma _ {i} ^ {2} end {zarovnáno} }}$$

Zatímco druhá nerovnost je způsobena Kolmogorovova nerovnost.

Za předpokladu, že ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} sigma _ {n} ^ {2}}$ konverguje, z toho vyplývá, že poslední člen má tendenci k 0, když ${ displaystyle m to infty}$, pro každou libovolnou ${ displaystyle epsilon> 0}$.

Reference

• Durrett, Rick. Pravděpodobnost: teorie a příklady. Duxbury advanced series, třetí vydání, Thomson Brooks / Cole, 2005, oddíl 1.8, str. 60–69.
• M. Loève, Teorie pravděpodobnosti, Princeton Univ. Press (1963), str. 16.3
• W. Feller, Úvod do teorie pravděpodobnosti a jejích aplikací, 2, Wiley (1971), str. IX.9