Kepler – Bouwkampova konstanta - Kepler–Bouwkamp constant

Posloupnost vepsaných mnohoúhelníků a kruhů

v rovinná geometrie, Kepler – Bouwkampova konstanta (nebo polygonová konstanta) se získává jako a omezit z následujícího sekvence. Vezměte si kruh o poloměru 1. Vepsat A pravidelný trojúhelník v tomto kruhu. Vložte kruh do tohoto trojúhelníku. Napiš a náměstí v tom. Vepište kruh, pravidelný pětiúhelník, kruh, pravidelný šestiúhelník a tak dále. The poloměr mezní kružnice se nazývá Kepler – Bouwkampova konstanta.^[1] Je pojmenován po Johannes Kepler a Christoffel Bouwkamp [de ], a je inverzní k polygonová konstrikční konstanta.

Číselná hodnota

Desetinné rozšíření konstanty Kepler – Bouwkamp je (sekvence A085365 v OEIS )

{displaystyle prod _ {k = 3} ^ {infty} cos left ({frac {pi} {k}} ight) = 0,1149420448dots.}

Přirozený logaritmus Kepler-Bouwkampovy konstanty je dán vztahem

{displaystyle -2sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {2 ^ {2k} -1} {2k}} zeta (2k) vlevo (zeta (2k) -1- {frac {1} {2 ^ {2k}}} hned)}

kde ${displaystyle zeta (s) = sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {1} {n ^ {s}}}}$ je Funkce Riemann zeta.

Pokud je produkt převzat lichými prvočísly, konstanta

{displaystyle prod _ {k = 3,5,7,11,13,17, ldots} cos left ({frac {pi} {k}} ight) = 0,312832ldots}

se získá (sekvence A131671 v OEIS ).

^ Finch, S. R. (2003). Matematické konstanty. Cambridge University Press. PAN 2003519.

Kitson, Adrian R. (2006). „Hlavní analogie konstanty Kepler – Bouwkamp“. arXiv:matematika / 0608186.
Kitson, Adrian R. (2008). "Hlavní analogie Kepler-Bouwkampovy konstanty". Matematický věstník. 92: 293. doi:10.1017 / S0025557200183214.
Doslic, Tomislav (2014). "Poloměr kombinačních sekvencí Kepler-Bouwkamp". Časopis celočíselných sekvencí. 17: 14.11.3.