Jacobiho elipsoid - Jacobi ellipsoid

Umělecké ztvárnění Haumea, trpasličí planeta s triaxiálním elipsoidním tvarem.

A Jacobiho elipsoid je triaxiální (tj. scalenový) elipsoid v rovnováze, která vzniká, když se samo gravitační tekuté těleso rovnoměrné hustoty otáčí s konstantní úhlovou rychlostí. Je pojmenován po Němec matematik Carl Gustav Jacob Jacobi.^[1]

Dějiny

Před Jacobi se Maclaurinový sféroid, který byl formulován v roce 1742, byl považován za jediný typ elipsoid který může být v rovnováze.^[2]^[3] Lagrange v roce 1811^[4] uvažoval o možnosti tříosého elipsoidu být v rovnováze, ale dospěl k závěru, že dvě rovníkové osy elipsoid musí být stejné, vedoucí zpět k řešení Maclaurinový sféroid. Ale Jacobi uvědomil si, že Lagrange Demonstrace je podmínkou dostatečnosti, ale není nutná. Poznamenal: „Člověk by udělal vážnou chybu, kdyby se dalo předpokládat, že sféroidy revoluce jsou jedinými přípustnými čísly rovnováhy i za restriktivního předpokladu povrchů druhého stupně“ a dále dodává, že „Ve skutečnosti jednoduchá úvaha ukazuje, že elipsoidy se třemi nerovné osy mohou velmi dobře být čísly rovnováhy; a že lze předpokládat elipsu libovolného tvaru pro rovníkový řez a určit třetí osu (což je také nejmenší ze tří os) a úhlovou rychlost otáčení tak, že elipsoid je údaj o rovnováze. “^[5]

Jacobiho vzorec

Rovníková (A, b) a polární (C) semi-hlavní osy Jacobiho elipsoidu a Maclaurinova sféroidu, jako funkce normalizovaného momentu hybnosti, s výhradou abc = 1 (tj. Pro konstantní objem 4π / 3).
Přerušované čáry jsou pro maklaurinový sféroid v oblasti, kde má dynamickou, ale nikoli světskou stabilitu - uvolní se do Jacobiho elipsoidu za předpokladu, že dokáže rozptýlit energii na základě viskózní složky.

Pro elipsoid s ekvatoriálními polo-hlavními osami ${ displaystyle a, b}$ a polární semi-hlavní osa ${ displaystyle c}$ , úhlová rychlost ${ displaystyle Omega}$ o ${ displaystyle c}$ darováno

{ displaystyle { frac { Omega ^ {2}} { pi G rho}} = 2abc int _ {0} ^ { infty} { frac {udu} {(a ^ {2} + u ) (b ^ {2} + u) Delta}} , quad Delta ^ {2} = (a ^ {2} + u) (b ^ {2} + u) (c ^ {2} + u),}

kde ${ displaystyle rho}$ je hustota a ${ displaystyle G}$ je gravitační konstanta, s výhradou podmínky

{ displaystyle a ^ {2} b ^ {2} int _ {0} ^ { infty} { frac {du} {(a ^ {2} + u) (b ^ {2} + u) Delta}} = c ^ {2} int _ {0} ^ { infty} { frac {du} {(c ^ {2} + u) Delta}}.}

Pro pevné hodnoty ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ , výše uvedená podmínka má řešení pro ${ displaystyle c}$ takhle

{ displaystyle { frac {1} {c ^ {2}}}> { frac {1} {a ^ {2}}} + { frac {1} {b ^ {2}}}.}

Integrály lze vyjádřit pomocí neúplné eliptické integrály.^[6] Z hlediska Carlsonova symetrická forma eliptický integrál ${ displaystyle R_ {J}}$ , stane se vzorec pro úhlovou rychlost

{ displaystyle { frac { Omega ^ {2}} { pi G rho}} = { frac {4abc} ​​{3 (a ^ {2} -b ^ {2})}}} (a ^ { 2} R_ {J} (a ^ {2}, b ^ {2}, c ^ {2}, a ^ {2}) - b ^ {2} R_ {J} (a ^ {2}, b ^ {2}, c ^ {2}, b ^ {2}))}

a podmínka relativní velikosti polořadiných hlavních os ${ displaystyle a, b, c}$ je

{ displaystyle { frac {2} {3}} { frac {a ^ {2} b ^ {2}} {b ^ {2} -a ^ {2}}} (R_ {J} (a ^ {2}, b ^ {2}, c ^ {2}, a ^ {2}) - R_ {J} (a ^ {2}, b ^ {2}, c ^ {2}, b ^ {2 })) = { frac {2} {3}} c ^ {2} R_ {J} (a ^ {2}, b ^ {2}, c ^ {2}, c ^ {2}).}

Moment hybnosti ${ displaystyle L}$ Jacobiho elipsoidu je dán vztahem

{ displaystyle { frac {L} { sqrt {GM ^ {3} { bar {a}}}}} = { frac { sqrt {3}} {10}} { frac {a ^ { 2} + b ^ {2}} {{ bar {a}} ^ {2}}} { sqrt { frac { Omega ^ {2}} { pi G rho}}}}, quad { bar {a}} = (abc) ^ {1/3},}

kde ${ displaystyle M}$ je hmotnost elipsoidu a ${ displaystyle { bar {a}}}$ je střední poloměr, poloměr koule stejného objemu jako elipsoid.

Vztah s elipsoidem Dedekind

Jacobiho a Dedekindovy elipsoidy jsou oba rovnovážné údaje pro těleso rotující homogenní samo-gravitační kapaliny. Zatímco se však Jacobiho elipsoid tělesně točí, bez vnitřního toku tekutiny v rotujícím rámu, Dedekindův elipsoid udržuje pevnou orientaci, v níž cirkuluje základní tekutina. To je přímý důsledek Dedekindova věta.

Pro jakýkoli daný Jacobiho elipsoid existuje elipsoid Dedekind se stejnými semi-hlavními osami ${ displaystyle a, b, c}$ a stejnou hmotu a s pole rychlosti proudění z^[7]

{ displaystyle mathbf {u} = zeta { frac {-a ^ {2} y mathbf { hat {x}} + b ^ {2} x mathbf { hat {y}}} {a ^ {2} + b ^ {2}}},}

kde ${ displaystyle x, y, z}$ jsou kartézské souřadnice na osách ${ displaystyle { hat {x}}, { hat {y}}, { hat {z}}}$ zarovnány s ${ displaystyle a, b, c}$ osy elipsoidu. Tady ${ displaystyle zeta}$ je vířivost, který je jednotný v celém sféroidu ( ${ displaystyle nabla times mathbf {u} = zeta mathbf { hat {z}}}$ ). Úhlová rychlost ${ displaystyle Omega}$ Jacobiho elipsoidu a vířivost odpovídajícího Dedekindova elipsoidu souvisí s^[7]

{ displaystyle zeta = left ({ frac {a} {b}} + { frac {b} {a}} right) Omega.}

To znamená, že každá částice tekutiny Dedekindova elipsoidu popisuje a podobný eliptický obvod ve stejném období, ve kterém Jacobiho sféroid provádí jednu rotaci.

Ve zvláštním případě ${ displaystyle a = b}$ , elipsoidy Jacobi a Dedekind (a Maclaurinův sféroid) se stávají stejnými; tělesná rotace a kruhový průtok jsou stejné. V tomto případě ${ displaystyle zeta = 2 Omega}$ , jak to vždy platí pro pevně rotující tělo.

Obecně mají elipsoidy Jacobi a Dedekind stejnou energii,^[8] ale moment hybnosti Jacobiho sféroidu je větší o faktor^[8]

{ displaystyle { frac {L _ { mathrm {Jac}}} {L _ { mathrm {Ded}}}} = { frac {1} {2}} vlevo ({ frac {a} {b} } + { frac {b} {a}} vpravo).}

Viz také

Reference

^ Jacobi, C. G. (1834). „Ueber die Figur des Gleichgewichts“. Annalen der Physik (v němčině). 109 (8–16): 229–233. Bibcode:1834AnP ... 109..229J. doi:10,1002 / a 18341090808.
^ Chandrasekhar, S. (1969). Elipsoidní čísla rovnováhy. Sv. 10. New Haven: Yale University Press. str. 253.
^ Chandrasekhar, S. (1967). „Elipsoidní čísla rovnováhy - historický popis“. Sdělení o čisté a aplikované matematice. 20 (2): 251–265. doi:10,1002 / cpa.3160200203.
^ Lagrange, J. L. (1811). Mécanique Analytique sekta. IV 2 obj.
^ Dirichlet, G.L. (1856). „Gedächtnisrede auf Carl Gustav Jacob Jacobi“. Journal für die reine und angewandte Mathematik (v němčině). 52: 193–217.
^ Darwin, G. H. (1886). „Na Jacobiho obrázku rovnováhy pro rotující množství tekutiny“. Sborník královské společnosti v Londýně. 41 (246–250): 319–336. Bibcode:1886RSPS ... 41..319D. doi:10.1098 / rspl.1886.0099. S2CID 121948418.
^ ^A ^b Chandrasekhar, Subrahmanyan (1965). „Rovnováha a stabilita Dedekindových elipsoidů“. Astrofyzikální deník. 141: 1043–1055. Bibcode:1965ApJ ... 141.1043C. doi:10.1086/148195.
^ ^A ^b Bardeen, James M. (1973). „Rychle rotující hvězdy, disky a černé díry“. In DeWitt, C .; DeWitt, Bryce Seligman (eds.). Černé díry. Houchesova přednášková série. CRC Press. 267–268. ISBN 9780677156101.

[1] Jacobi, C. G. (1834). „Ueber die Figur des Gleichgewichts“. Annalen der Physik (v němčině). 109 (8–16): 229–233. Bibcode:1834AnP ... 109..229J. doi:10,1002 / a 18341090808.

[2] Chandrasekhar, S. (1969). Elipsoidní čísla rovnováhy. Sv. 10. New Haven: Yale University Press. str. 253.

[3] Chandrasekhar, S. (1967). „Elipsoidní čísla rovnováhy - historický popis“. Sdělení o čisté a aplikované matematice. 20 (2): 251–265. doi:10,1002 / cpa.3160200203.

[4] Lagrange, J. L. (1811). Mécanique Analytique sekta. IV 2 obj.

[5] Dirichlet, G.L. (1856). „Gedächtnisrede auf Carl Gustav Jacob Jacobi“. Journal für die reine und angewandte Mathematik (v němčině). 52: 193–217.

[6] Darwin, G. H. (1886). „Na Jacobiho obrázku rovnováhy pro rotující množství tekutiny“. Sborník královské společnosti v Londýně. 41 (246–250): 319–336. Bibcode:1886RSPS ... 41..319D. doi:10.1098 / rspl.1886.0099. S2CID 121948418.

[Chandrasekhar1965-7] A ^b Chandrasekhar, Subrahmanyan (1965). „Rovnováha a stabilita Dedekindových elipsoidů“. Astrofyzikální deník. 141: 1043–1055. Bibcode:1965ApJ ... 141.1043C. doi:10.1086/148195.

[Bardeen-8] A ^b Bardeen, James M. (1973). „Rychle rotující hvězdy, disky a černé díry“. In DeWitt, C .; DeWitt, Bryce Seligman (eds.). Černé díry. Houchesova přednášková série. CRC Press. 267–268. ISBN 9780677156101.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]