Jónssonova funkce - Jónsson function

V matematice teorie množin, an Funkce ω-Jónsson za sadu X z řadové je funkce ${displaystyle f: [x] ^ {omega} o x}$ s vlastností, která pro jakoukoli podmnožinu y z X se stejným mohutnost tak jako X, omezení ${displaystyle f}$ na ${displaystyle [y] ^ {omega}}$ je surjektivní na ${displaystyle x}$. Tady ${displaystyle [x] ^ {omega}}$ označuje množinu přísně se zvyšujících posloupností členů ${displaystyle x}$nebo ekvivalentně rodina podmnožin ${displaystyle x}$ s typ objednávky ${displaystyle omega}$pomocí standardní notace pro skupinu podmnožin s daným typem objednávky. Jónssonovy funkce jsou pojmenovány Bjarni Jónsson.

Erdős a Hajnal (1966 ) ukázal, že pro každé řadové λ existuje ω-Jónssonova funkce pro λ.

Kunenův důkaz Kunenova věta o nekonzistenci používá funkci Jónsson pro kardinálové λ takové, že 2^λ = λ^ℵ₀a Kunen poznamenali, že pro tento speciální případ existuje jednodušší důkaz existence Jónssonových funkcí. Galvin a Prikry (1976 ) poskytl jednoduchý důkaz pro obecný případ.

Existence Jónssonových funkcí ukazuje, že pro každého kardinála existuje algebra s nekonečnou operací, která nemá řádné subalgebry stejné mohutnosti. Zejména pokud jsou povoleny operace na nekonečném úseku, pak analoga Jónssonovy algebry existuje v jakékoli mohutnosti, takže neexistují žádné nekonečné analogy Jónsson kardinálové.

Reference

• Erdős, P.; Hajnal, András (1966), „K problému B. Jónssona“, Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences. Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques, 14: 19–23, ISSN  0001-4117, PAN  0209161
• Galvin, Fred; Prikry, Karel (1976), „Infinitary Jonsson algebras and partition relationships“, Algebra Universalis, 6 (3): 367–376, doi:10.1007 / BF02485843, ISSN  0002-5240, PAN  0434822
• Jónsson, Bjarni (1972), Témata z univerzální algebryPřednášky z matematiky, 250, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0058648, PAN  0345895
• Kanamori, Akihiro (2003), The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from their Počátky (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, str. 319, ISBN  978-3-540-00384-7