Inoue povrch - Inoue surface

v složitá geometrie, an Inoue povrch je některý z několika složité povrchy z Kodaira třída VII. Jsou pojmenovány po Masahisa Inoue, který v roce 1974 uvedl první netriviální příklady povrchů Kodaira třídy VII.^[1]

Povrchy Inoue nejsou Rozdělovače Kähler.

Inoue povrchy s b₂ = 0

Inoue představil tři rodiny povrchů, S⁰, S⁺ a S⁻, což jsou kompaktní kvocienty ${displaystyle mathbb {C} imes mathbb {H}}$ (součin komplexní roviny polorovinou). Tyto povrchy Inoue jsou Solvmanifolds. Získávají se jako kvocienty ${displaystyle mathbb {C} imes mathbb {H}}$ řešitelnou diskrétní skupinou, na kterou působí holomorfně ${displaystyle mathbb {C} imes mathbb {H}.}$

Druhé jsou povrchy solventmanifold konstruované Inoue Betti číslo ${displaystyle b_ {2} = 0}$ . Tyto povrchy jsou z Kodaira třída VII, což znamená, že mají ${displaystyle b_ {1} = 1}$ a Dimenze Kodaira ${displaystyle -infty}$ . Bylo prokázáno Bogomolov,^[2] Li–Yau ^[3] a Teleman^[4] že nějaké povrch třídy VII s ${extstyle b_ {2} = 0}$ je Hopfův povrch nebo solmanifold typu Inoue.

Tyto povrchy nemají žádné meromorfní funkce a žádné křivky.

K. Hasegawa ^[5] poskytuje seznam všech komplexních 2-dimenzionálních solvmanifoldů; tyto jsou komplexní torus, hyperelliptický povrch, Povrch Kodaira a Inoue povrchy S⁰, S⁺ a S⁻.

Povrchy Inoue jsou konstruovány výslovně následujícím způsobem.^[5]

Typu S⁰

Nechat φ být celé číslo 3 × 3 matice se dvěma komplexními vlastními hodnotami ${displaystyle alpha, {overline {alpha}}}$ a skutečné vlastní číslo C > 1, s ${displaystyle | alpha | ^ {2} c = 1}$ . Pak φ je invertible over integers, and defines an action of the group of integers, ${displaystyle mathbb {Z},}$ na ${displaystyle mathbb {Z} ^ {3}}$ . Nechat ${displaystyle Gamma: = mathbb {Z} ^ {3} krát mathbb {Z}.}$ Tato skupina je příhradová řešitelný Lež skupina

{displaystyle mathbb {R} ^ {3} krát mathbb {R} = (mathbb {C} imes mathbb {R}) krát mathbb {R},}

jednající na ${displaystyle mathbb {C} imes mathbb {R},}$ s ${displaystyle (mathbb {C} imes mathbb {R})}$ -část jednající překlady a ${displaystyle times mathbb {R}}$ -část jako ${displaystyle (z, r) mapsto (alpha ^ {t} z, c ^ {t} r).}$

Tuto akci rozšiřujeme na ${displaystyle mathbb {C} imes mathbb {H} = mathbb {C} imes mathbb {R} imes mathbb {R} ^ {> 0}}$ nastavením ${displaystyle vmapsto e ^ {log ct} v}$ , kde t je parametr parametru ${displaystyle times mathbb {R}}$ -část ${displaystyle mathbb {R} ^ {3} krát mathbb {R},}$ a jedná triviálně s ${displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ zapnout ${displaystyle mathbb {R} ^ {> 0}}$ . Tato akce je jasně holomorfní a kvocient ${displaystyle mathbb {C} imes mathbb {H} / Gamma}$ je nazýván Inoue povrch typu ${displaystyle S ^ {0}.}$

Inoueho povrch typu S⁰ je určena volbou celočíselné matice φ, omezeno jak je uvedeno výše. Takových povrchů je nespočetné množství.

Typu S⁺

Nechat n být kladné celé číslo a ${displaystyle Lambda _ {n}}$ být skupina horních trojúhelníkových matic

{displaystyle {egin {bmatrix} 1 & x & z / n 0 & 1 & y 0 & 0 & 1end {bmatrix}}, qquad x, y, zin mathbb {Z}.}

Podíl ${displaystyle Lambda _ {n}}$ jeho středem C je ${displaystyle mathbb {Z} ^ {2}}$ . Nechat φ být automorfismem ${displaystyle Lambda _ {n}}$ , předpokládáme to φ jedná ${displaystyle Lambda _ {n} / C = mathbb {Z} ^ {2}}$ jako matice se dvěma kladnými reálnými vlastními hodnotami a, b, a ab = 1. Uvažujme řešitelnou skupinu ${displaystyle Gamma _ {n}: = Lambda _ {n} krát mathbb {Z},}$ s ${displaystyle mathbb {Z}}$ jednající na ${displaystyle Lambda _ {n}}$ tak jako φ. Identifikace skupiny horních trojúhelníkových matic s ${displaystyle mathbb {R} ^ {3},}$ získáme akci ${displaystyle Gamma _ {n}}$ na ${displaystyle mathbb {R} ^ {3} = mathbb {C} imes mathbb {R}.}$ Definujte akci ${displaystyle Gamma _ {n}}$ na ${displaystyle mathbb {C} imes mathbb {H} = mathbb {C} imes mathbb {R} imes mathbb {R} ^ {> 0}}$ s ${displaystyle Lambda _ {n}}$ působící triviálně na ${displaystyle mathbb {R} ^ {> 0}}$ -část a ${displaystyle mathbb {Z}}$ jednat jako ${displaystyle vmapsto e ^ {tlog b} v.}$ Stejný argument jako pro Inoue povrchy typu ${displaystyle S ^ {0}}$ ukazuje, že tato akce je holomorfní. Kvocient ${displaystyle mathbb {C} imes mathbb {H} / Gamma _ {n}}$ je nazýván Inoue povrch typu ${displaystyle S ^ {+}.}$

Typu S⁻

Inoue povrchy typu ${displaystyle S ^ {-}}$ jsou definovány stejným způsobem jako pro S⁺, ale dvě vlastní čísla a, b z φ jednající na ${displaystyle mathbb {Z} ^ {2}}$ mít opačné znaménko a uspokojit ab = -1. Protože čtverec takového endomorfismu definuje Inoueho povrch typu S⁺, Inoue povrch typu S⁻ má unramified dvojitý kryt typu S⁺.

Parabolické a hyperbolické povrchy Inoue

Parabolické a hyperbolické povrchy Inoue jsou povrchy Kodaira třídy VII definované Iku Nakamura v roce 1984.^[6] Nejsou to solifony. Tyto povrchy mají kladné druhé Betti číslo. Oni mají sférické skořápky, a mohou být deformovány do foukaného vzduchu Hopfův povrch.

Parabolické Inoueho povrchy obsahují cyklus racionálních křivek s 0 samovolným průnikem a eliptickou křivkou. Jsou konkrétním případem povrchů Enoki, které mají cyklus racionálních křivek s nulovým samočinným průnikem, ale bez eliptické křivky. Plochy Half-Inoue obsahují cyklus C racionálních křivek a jsou podílem hyperbolického Inoueova povrchu se dvěma cykly racionálních křivek.

Hyperbolické povrchy Inoue jsou třídy VII₀ plochy se dvěma cykly racionálních křivek.^[7] Parabolické a hyperbolické povrchy jsou zvláštní případy minimálních povrchů s globálními sférickými skořápkami (GSS), které se také nazývají Kato povrchy. Všechny tyto povrchy mohou být vytvořeny nezvratnými kontrakcemi.^[8]

Poznámky

^ M. Inoue, „Na površích třídy VII₀," Inventiones matematika., 24 (1974), 269–310.
^ Bogomolov, F .: „Klasifikace povrchů třídy VII₀ s b₂ = 0", Matematika. SSSR Izv 10, 255–269 (1976)
^ Li, J., Yau, S., T .: „Hermitian Yang – Mills connections on non-Kähler manifolds“, Matematika. aspekty teorie strun (San Diego, Kalifornie, 1986), Adv. Ser. Matematika. Phys. 1, 560–573, World Scientific Publishing (1987)
^ Teleman, A .: „Projektivně ploché povrchy a Bogomolovova věta o třídě VII₀-povrchy ", Int. J. Math., Sv. 5, č. 2, 253–264 (1994)
^ ^A ^b Keizo Hasegawa Složité a Kählerovy struktury na kompaktních rozdělovačích, J. Symplectic Geom. Svazek 3, číslo 4 (2005), 749–767.
^ I. Nakamura, „Na površích třídy VII₀ s křivkami, “ Inv. Matematika. 78, 393–443 (1984).
^ I. Nakamura. "Průzkum VII₀ povrchy ", Poslední vývoj v NonKaehler Geometry, Sapporo, březen 2008.
^ G. Dloussky, „Une stavební prvek des povrchů d'Inoue – Hirzebruch“. Matematika. Ann. 280, 663–682 (1988).

[1] M. Inoue, „Na površích třídy VII₀," Inventiones matematika., 24 (1974), 269–310.

[2] Bogomolov, F .: „Klasifikace povrchů třídy VII₀ s b₂ = 0", Matematika. SSSR Izv 10, 255–269 (1976)

[3] Li, J., Yau, S., T .: „Hermitian Yang – Mills connections on non-Kähler manifolds“, Matematika. aspekty teorie strun (San Diego, Kalifornie, 1986), Adv. Ser. Matematika. Phys. 1, 560–573, World Scientific Publishing (1987)

[4] Teleman, A .: „Projektivně ploché povrchy a Bogomolovova věta o třídě VII₀-povrchy ", Int. J. Math., Sv. 5, č. 2, 253–264 (1994)

[hasegawa-5] A ^b Keizo Hasegawa Složité a Kählerovy struktury na kompaktních rozdělovačích, J. Symplectic Geom. Svazek 3, číslo 4 (2005), 749–767.

[6] I. Nakamura, „Na površích třídy VII₀ s křivkami, “ Inv. Matematika. 78, 393–443 (1984).

[7] I. Nakamura. "Průzkum VII₀ povrchy ", Poslední vývoj v NonKaehler Geometry, Sapporo, březen 2008.

[8] G. Dloussky, „Une stavební prvek des povrchů d'Inoue – Hirzebruch“. Matematika. Ann. 280, 663–682 (1988).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Inoue povrch - Inoue surface

Inoue povrchy s b2 = 0

Typu S0

Typu S+

Typu S−