Hypernetovaná rovnice řetězce - Hypernetted-chain equation

v statistická mechanika the hypernetted-chain equation je uzavření vztah k řešení Ornstein-Zernikeova rovnice který spojuje přímou korelační funkci s celkovou korelační funkcí. V teorii tekutin se běžně používá k získání např. výrazy pro radiální distribuční funkce. Je to dáno:

${displaystyle ln y (r_ {12}) = ln g (r_ {12}) + eta u (r_ {12}) = ho int left [h (r_ {13}) - ln g (r_ {13}) - eta u (r_ {13}) ight] h (r_ {23}), dmathbf {r_ {3}} ,,}$

kde ${displaystyle ho = {frac {N} {V}}}$ je hustota čísel molekul, ${displaystyle h (r) = g (r) -1}$, ${displaystyle g (r)}$ je radiální distribuční funkce, ${displaystyle u (r)}$ je přímá interakce mezi páry. ${displaystyle eta = {frac {1} {k_ {m {B}} T}}}$ s ${displaystyle T}$ být Termodynamická teplota a ${displaystyle k_ {m {B}}}$ the Boltzmannova konstanta.

Derivace

Funkce přímé korelace představuje přímou korelaci mezi dvěma částicemi v systému obsahujícím N - 2 další částice. Může to být reprezentováno

${displaystyle c (r) = g_ {m {total}} (r) -g_ {m {nepřímý}} (r),}$

kde ${displaystyle g_ {m {total}} (r) = g (r) = exp [- eta w (r)]}$ (s ${displaystyle w (r)}$ the potenciál střední síly ) a ${displaystyle g_ {m {nepřímý}} (r)}$ je radiální distribuční funkce bez přímé interakce mezi páry ${displaystyle u (r)}$ zahrnuta; tj. píšeme ${displaystyle g_ {m {nepřímý}} (r) = exp {- eta [w (r) -u (r)]}}$. Tak jsme přibližný ${displaystyle c (r)}$ podle

${displaystyle c (r) = e ^ {- eta w (r)} - e ^ {- eta [w (r) -u (r)]}.,}$

Rozšířením nepřímé části ${displaystyle g (r)}$ ve výše uvedené rovnici a zavedení funkce ${displaystyle y (r) = e ^ {eta u (r)} g (r) (= g_ {m {nepřímý}} (r))}$ můžeme se přiblížit ${displaystyle c (r)}$ napsáním:

${displaystyle c (r) = e ^ {- eta w (r)} - 1+ eta [w (r) -u (r)], = g (r) -1-ln y (r), = f ( r) y (r) + [y (r) -1-ln y (r)] ,, ({ext {HNC}}),}$

s ${displaystyle f (r) = e ^ {- eta u (r)} - 1}$.

Tato rovnice je podstatou hypernetované řetězové rovnice. Můžeme rovnocenně psát

${displaystyle h (r) -c (r) = g (r) -1-c (r) = ln y (r).}$

Pokud dosadíme tento výsledek do Ornstein-Zernikeova rovnice

${displaystyle h (r_ {12}) - c (r_ {12}) = ho int c (r_ {13}) h (r_ {23}) dmathbf {r} _ {3},}$

jeden získá hypernetted-chain equation:

${displaystyle ln y (r_ {12}) = ln g (r_ {12}) + eta u (r_ {12}) = ho int left [h (r_ {13}) - ln g (r_ {13}) - eta u (r_ {13}) ight] h (r_ {23}), dmathbf {r_ {3}}.,}$

Viz také

• Metoda hypernetovaného řetězu klasické mapy
• Percus – Yevickova aproximace - další uzavírací vztah
• Ornstein-Zernikeova rovnice