Hodgeův cyklus - Hodge cycle

v diferenciální geometrie, a Hodgeův cyklus nebo Hodge třída je zvláštní druh třída homologie definované na a komplex algebraická rozmanitost PROTI, nebo obecněji na a Kähler potrubí. Třída homologie X v homologická skupina

${ displaystyle H_ {k} (V, mathbb {C}) = H}$

kde PROTI je ne singulární komplexní algebraická odrůda nebo Kählerův variet je a Hodgeův cyklus, pokud splňuje dvě podmínky. Za prvé, k je sudé celé číslo ${ displaystyle 2p}$a v přímý součet rozklad H prokázáno, že existuje v Hodgeova teorie, X je čistě typu ${ displaystyle (p, p)}$. Za druhé, X je racionální třída v tom smyslu, že spočívá v obrazu homomorfismu abelianské skupiny

${ displaystyle H_ {k} (V, mathbb {Q}) až H}$

definované v algebraická topologie (jako zvláštní případ věta o univerzálním koeficientu ). Konvenční termín Hodge cyklus proto je v tom mírně nepřesný X je považován za třída (modulo hranice); ale to je normální použití.

Význam Hodgeových cyklů spočívá především v Hodgeova domněnka v tom smyslu, že Hodgeovy cykly by vždy měly být algebraické cykly, pro PROTI A kompletní algebraická rozmanitost. Od března 2020 se jedná o nevyřešený problém^{[Aktualizace]}; je známo, že být Hodgeovým cyklem je nutná podmínka být algebraickým cyklem, který je racionální, a je známo mnoho konkrétních případů domněnky.

Reference

• „Hodgeova domněnka“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]