Modulární odrůda Hilbert - Hilbert modular variety

V matematice, a Hilbertův modulární povrch nebo Hilbert – Blumenthalův povrch je algebraický povrch získáno převzetím kvocientu produktu dvou kopií horní polorovina podle a Hilbertova modulární skupina. Obecněji, a Modulární odrůda Hilbert je algebraická rozmanitost získáno převzetím kvocientu součinu několika kopií horní poloroviny Hilbertovou modulární skupinou.

Hilbertovy modulární povrchy poprvé popsal Otto Blumenthal (1903, 1904 ) pomocí některých nepublikovaných poznámek napsaných uživatelem David Hilbert asi 10 let předtím.

Definice

Li R je kruh celých čísel skutečné kvadratické pole, pak Hilbertova modulární skupina SL₂(R) činy na výrobku H×H dvou kopií horní poloviny roviny HJe jich několik birationally ekvivalent povrchy související s touto akcí, které lze libovolně volat Hilbertovy modulární povrchy:

Povrch X je podíl z H×H podle SL₂(R); není kompaktní a obvykle má kvocientové singularity vycházející z bodů s netriviálními izotropními skupinami.
Povrch X^* se získává z X přidáním konečného počtu bodů odpovídajících vrcholy akce. Je kompaktní a má nejen kvocientové singularity X, ale také singularity na jejích vrcholcích.
Povrch Y se získává z X^* řešením singularit minimálním způsobem. Je to kompaktní hladký algebraický povrch, ale není obecně minimální.
Povrch Y⁰ se získává z Y sfouknutím určitých výjimečných -1 křivek. Je hladký a kompaktní a je často (ale ne vždy) minimální.

Existuje několik variant této konstrukce:

Hilbertova modulární skupina může být nahrazena nějakou podskupinou konečného indexu, jako je a podskupina kongruence.
Jeden může rozšířit Hilbertovu modulární skupinu o skupinu řádu 2, působící na Hilbertovu modulární skupinu prostřednictvím Galoisovy akce a výměnou dvou kopií horní poloviční roviny.

Singularity

Hirzebruch (1953) ukázal, jak vyřešit kvocientové singularity, a Hirzebruch (1971) ukázal, jak vyřešit jejich špičkové singularity.

Klasifikace povrchů

Papíry Hirzebruch (1971), Hirzebruch & Van de Ven (1974) a Hirzebruch & Zagier (1977) identifikoval jejich typ v klasifikace algebraických povrchů. Většina z nich je povrchy obecného typu, ale několik jich je racionální povrchy nebo vybuchla K3 povrchy nebo eliptické povrchy.

Příklady

van der Geer (1988) uvádí dlouhou tabulku příkladů.

The Clebschův povrch na 10 bodech Eckardt je vybouchnutý Hilbertův modulární povrch.

Přidruženo k rozšíření kvadratického pole

Vzhledem k rozšíření kvadratického pole ${ displaystyle K = mathbb {Q} ({ sqrt {p}})}$ pro ${ displaystyle p = 4k + 1}$ existuje přidružená modulární odrůda Hilbert ${ displaystyle Y (p)}$ získaný zhutněním určité kvocientové odrůdy ${ displaystyle X (p)}$ a řešení jejích singularit. Nechat ${ displaystyle { mathfrak {H}}}$ označte horní polovinu roviny a nechte ${ displaystyle SL (2, { mathcal {O}} _ {K}) / { pm { text {Id}} _ {2} }}$ jednat podle ${ displaystyle { mathfrak {H}} krát { mathfrak {H}}}$ přes

${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} (z_ {1}, z_ {2}) = left ({ frac {az_ {1} + bz_ {2}} {cz_ {1} + dz_ {2}}}, { frac {a'z_ {1} + b'z_ {2}} {c'z_ {1} + d'z_ {2}}} vpravo)}$

Kde ${ displaystyle a ', b', c ', d'}$ jsou Galoisovy konjugáty.^[1] Odpovídající odrůda kvocientu je označena

${ displaystyle X (p) = G zpětné lomítko { mathfrak {H}} krát { mathfrak {H}}}$

a lze je zhutnit do různých odrůd ${ displaystyle { overline {X}} (p)}$ , volal vrcholy, které jsou v bijection s ideální třídy v ${ displaystyle { text {Cl}} ({ mathcal {O}} _ {K})}$ . Vyřešení jeho singularit dává rozmanitost ${ displaystyle Y (p)}$ volal Hilbertova modulární odrůda rozšíření pole. Z Baileyho-Borelovy věty o zhuštění existuje zakotvení tohoto povrchu do projektivního prostoru.^[2]

Viz také

Reference

^ Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus; Peters, Chris A. M .; Ven, Antonius (2004). Kompaktní komplexní povrchy. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. str. 231. doi:10.1007/978-3-642-57739-0. ISBN 978-3-540-00832-3.
^ Baily, W. L .; Borel, A. (listopad 1966). "Zhutnění aritmetických podílů ohraničených symetrických domén". Annals of Mathematics. 84 (3): 442. doi:10.2307/1970457. JSTOR 1970457.

Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M .; Van de Ven, Antonius (2004), Kompaktní komplexní povrchy, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4, Springer-Verlag, Berlín, doi:10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN 978-3-540-00832-3, PAN 2030225
Blumenthal, Otto (1903), „Über Modulfunktionen von mehreren Veränderlichen“, Mathematische Annalen, 56 (4): 509–548, doi:10.1007 / BF01444306, S2CID 122293576
Blumenthal, Otto (1904), „Über Modulfunktionen von mehreren Veränderlichen“, Mathematische Annalen, 58 (4): 497–527, doi:10.1007 / BF01449486, S2CID 179178108
Hirzebruch, Friedrich (1953), „Über vierdimensionale RIEMANNsche Flächen mehrdeutiger analytischer Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen“, Mathematische Annalen, 126 (1): 1–22, doi:10.1007 / BF01343146, hdl:21.11116 / 0000-0004-3A47-C, ISSN 0025-5831, PAN 0062842, S2CID 122862268
Hirzebruch, Friedrich (1971), „Hilbertova modulární skupina, řešení singularit na špičkách a související problémy“, Séminaire Bourbaki, 23ème année (1970/1971), Exp. Č. 396, Přednášky v matematice, 244, Berlín, New York: Springer-Verlag, str. 275–288, doi:10.1007 / BFb0058707, ISBN 978-3-540-05720-8, PAN 0417187
Hirzebruch, Friedrich E. P. (1973), „Hilbertovy modulární povrchy“, L'Enseignement Mathématique, IIe Série, 19: 183–281, doi:10,5169 / těsnění-46292, ISSN 0013-8584, PAN 0393045
Hirzebruch, Friedrich; Van de Ven, Antonius (1974), „Hilbertovy modulární povrchy a klasifikace algebraických povrchů“, Inventiones Mathematicae (Vložený rukopis), 23 (1): 1–29, doi:10.1007 / BF01405200, hdl:21.11116 / 0000-0004-39A4-3, ISSN 0020-9910, PAN 0364262, S2CID 73577779
Hirzebruch, Friedrich; Zagier, Don (1977), „Klasifikace Hilbertovy modulární plochy“, Baily, W. L .; Shioda., T. (eds.), Komplexní analýza a algebraická geometrie, Tokio: Iwanami Shoten, str. 43–77, ISBN 978-0-521-09334-7, PAN 0480356
van der Geer, Gerard (1988), Hilbertovy modulární povrchy, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Výsledky v matematice a souvisejících oblastech (3)], 16, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-61553-5, ISBN 978-3-540-17601-5, PAN 0930101

externí odkazy

Ehlen, S., Krátký úvod do Hilbertovy modulární plochy a Hirzebruch-Zagierovy cykly (PDF)

[1] Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus; Peters, Chris A. M .; Ven, Antonius (2004). Kompaktní komplexní povrchy. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. str. 231. doi:10.1007/978-3-642-57739-0. ISBN 978-3-540-00832-3.

[2] Baily, W. L .; Borel, A. (listopad 1966). "Zhutnění aritmetických podílů ohraničených symetrických domén". Annals of Mathematics. 84 (3): 442. doi:10.2307/1970457. JSTOR 1970457.

[1]

[2]