Hilbertova metrika - Hilbert metric

v matematika, Hilbertova metrika, také známý jako Hilbertova projektivní metrika, je výslovně definován funkce vzdálenosti na hranici konvexní podmnožina z n-dimenzionální Euklidovský prostor Rⁿ. To bylo představeno David Hilbert (1895 ) jako zobecnění Cayleyův vzorec pro vzdálenost v Model Cayley – Klein z hyperbolická geometrie, kde konvexní množina je n-rozměrný otevřený jednotková koule. Hilbertova metrika byla použita Teorie Perron – Frobenius a na konstrukci Gromov hyperbolické prostory.

Definice

Nechť Ω je a konvexní otevřeno doména v Euklidovský prostor který neobsahuje řádek. Vzhledem ke dvěma odlišným bodům A a B Ω, nechť X a Y jsou body, ve kterých je přímka AB protíná hranici Ω, kde je pořadí bodů X, A, B, Y. Pak Hilbertova vzdálenost d(A, B) je logaritmus z křížový poměr z tohoto čtyřnásobku bodů:

{ displaystyle d (A, B) = log left ({ frac {| YA |} {| YB |}} { frac {| XB |} {| XA |}} right).}

Funkce d je rozšířen na všechny dvojice bodů letováním d(A, A) = 0 a definuje a metrický na Ω. Pokud jeden z bodů A a B leží na hranici Ω d lze formálně definovat jako + ∞, což odpovídá omezujícímu případu výše uvedeného vzorce, když je jeden z jmenovatelů nulový.

Varianta této konstrukce vzniká pro a Zavřeno konvexní kužel K. v Banachův prostor PROTI (možná nekonečně-dimenzionální). Kromě toho kužel K. se předpokládá, že je špičatý, tj. K. ∩ (−K.) = {0} a tedy K. určuje a částečná objednávka ${ displaystyle leq _ {K}}$ na PROTI. Vzhledem k jakýmkoli vektorům proti a w v K. {0}, jeden nejprve definuje

{ Displaystyle M (v / w) = inf { lambda: v leq _ {K} lambda w }, quad m (v / w) = sup { mu: mu w leq _ {K} v }.}

The Hilbert pseudometrický na K. {0} je pak definováno vzorcem

{ displaystyle d (v, w) = log { frac {M (v / w)} {m (v / w)}}.}

Při změně měřítka je invariantní proti a w kladnými konstantami a tak klesá k metrice v prostoru paprsků K., který je vykládán jako projektivizace z K. (K tomu, aby d abychom byli koneční, je třeba se omezit na vnitřek K.). Navíc pokud K. ⊂ R × PROTI je kužel nad konvexní množinou Ω,

{ displaystyle K = {(t, tx): t in mathbb {R}, x in Omega },}

pak prostor paprsků K. je kanonicky izomorfní s Ω. Li proti a w jsou vektory v paprscích v K. odpovídající bodům A, B ∈ Ω pak tyto dva vzorce pro d poskytnout stejnou hodnotu vzdálenosti.

Příklady

V případě, že doménou Ω je jednotková koule Rⁿ, vzorec pro d se shoduje s výrazem pro vzdálenost mezi body v Model Cayley – Klein z hyperbolická geometrie, až do multiplikativní konstanty.
Pokud kužel K. je pozitivní orthant v Rⁿ pak indukovaná metrika o projektivizaci K. se často nazývá jednoduše Hilbertova projektivní metrika. Tento kužel odpovídá doméně Ω, která je regulární simplexní dimenzen − 1.

Motivace a aplikace

Hilbert představil svou metriku, aby vytvořil axiomatickou metrickou geometrii, ve které existují trojúhelníky ABC jehož vrcholy A, B, C nejsou kolineární, přesto se jedna ze stran rovná součtu ostatních dvou - z toho vyplývá, že nejkratší cesta spojující dva body není v této geometrii jedinečná. Zejména se to stane, když je konvexní množina Ω euklidovská trojúhelník a prodloužení přímek segmentů AB, před naším letopočtem, AC nesplňují vnitřek jedné ze stran Ω.
Garrett Birkhoff použil Hilbertovu metriku a Banachův princip kontrakce rederive the Perron – Frobeniova věta v konečně-dimenzionální lineární algebře a její analogy pro integrální operátory s pozitivními jádry. Birkhoffovy myšlenky byly dále rozvíjeny a použity k vytvoření různých nelineárních zobecnění Perron-Frobeniovy věty, které našly významné využití v počítačové vědě, matematické biologii, teorii her, teorii dynamických systémů a ergodické teorii.
Zobecněním dřívějších výsledků Anderse Karlssona a Guennadi Noskova určil Yves Benoist systém nezbytných a dostatečných podmínek pro ohraničenou konvexní doménu v Rⁿ, který je vybaven svou Hilbertovou metrikou, je a Gromov hyperbolický prostor.

Reference

Yves Benoist, Konvexní hyperboliques a písma quasisymétriquesPubl. Matematika. Inst. Hautes Études Sci. Č. 97 (2003), 181–237
Garrett Birkhoff, Rozšíření Jentzschovy věty, Trans. Amer. Matematika. Soc. 85 (1957), 219–227
Nielsen, Frank; Sun, Ke (2017), „Shlukování v Hilbertově simplexní geometrii“, arXiv:1704.00454 [cs.LG ]
Nielsen, Frank; Shao, Laëtitia (2017), Na koulích v Hilbertově polygonální geometrii, 77, LIPIcs-Leibniz International Proceedings in Informatics (SoCG)
P. J. Bushell, Hilbertovy metrické a pozitivní mapování kontrakcí v Banachově prostoruArch. Rational Mech. Anální. 52 (1973), 330–338
Hilbert, David (1895), „Ueber die gerade Linie als kürzeste Verbindung zweier Punkte“, Mathematische Annalen Springer Berlin / Heidelberg, 46: 91–96, doi:10.1007 / BF02096204, ISSN 0025-5831, JFM 26.0540.02
Papadopoulos, Athanase; Troyanov, Marc (2014), Příručka Hilbertovy geometrie, Evropská matematická společnost
Bas Lemmens a Roger Nussbaum, Nelineární teorie Perron-Frobenius, Cambridge Tracts in Mathematics 189, Cambridge Univ. Tisk, 2012.