Hilbertsova aritmetika konců - Hilberts arithmetic of ends - Wikipedia

v matematika, konkrétně v oblasti hyperbolická geometrie, Hilbertova aritmetika konců je metoda pro obdarování geometrické množiny, množiny ideálních bodů nebo „konců“ hyperbolické roviny, s algebraickou strukturou jako pole Byl zaveden německým matematikem David Hilbert.^[1]

Definice

Končí

V hyperbolická rovina, lze definovat ideální bod nebo konec být třída ekvivalence z omezující paralelně paprsky. Sada konců pak může být topologizována přirozeným způsobem a tvoří kruh. Toto použití konec není kanonický; zejména koncept, který označuje, se liší od konceptu topologického konce (viz Konec (topologie) a Konec (teorie grafů) ).

V Poincaré model disku nebo Klein model hyperbolické geometrie, každý paprsek protíná hranici kruh (nazývané také kruh v nekonečnu nebo čára v nekonečnu ) v jedinečném směřovat a konce lze identifikovat pomocí těchto bodů. Body hraniční kružnice se však nepovažují za body samotné hyperbolické roviny. Každý hyperbolický čára má přesně dva odlišné konce a každé dva odlišné konce jsou konce jedinečné linie. Pro účely Hilbertovy aritmetiky je účelné označit linii uspořádanou dvojicí (A, b) jejích konců.

Hilbertova aritmetika opravuje libovolně tři odlišné konce a označuje je jako 0, 1 a ∞;. Sada H na kterém Hilbert definuje strukturu pole je množina všech konců jiných než ∞, zatímco H ' označuje množinu všech konců včetně ∞.

Přidání

Složení tří odrazů se stejným koncem je čtvrtým odrazem, rovněž se stejným koncem.

Hilbert definuje přidání konců pomocí hyperbolického odrazy. Pro každý konec X v H, jeho negace -X je definována konstrukcí hyperbolického odrazu čáry (X, ∞) přes čáru (0, ∞) a výběr -X být koncem odražené čáry.

The složení ze všech tří hyperbolických odrazy jehož osy symetrie všichni sdílejí společný konec je sám o sobě dalším odrazem, přes jinou čáru se stejným koncem. Na základě této „věty o třech odrazech“, daných jakýchkoli dvou konců X a y v H, Hilbert definuje součet X + y být nekonečným koncem osy symetrie kompozice tří odrazů liniemi (X, ∞), (0, ∞) a (y,∞).

Z vlastností odrazů vyplývá, že tyto operace mají vlastnosti požadované od operací negace a sčítání v algebře polí: tvoří inverzní a adiční operace aditiva abelianská skupina.

Násobení

Násobení přes konce

Je definována operace násobení v aritmetice konců (pro nenulové prvky X a y z H) zvážením řádků (1, −1), (X,−X), a (y,−y). Kvůli způsobu −1, -X, a -y jsou definovány odrazem přes čáru (0, ∞), každá ze tří čar (1, −1), (X,−X), a (y,−y) je kolmá na (0, ∞).

Z těchto tří linií lze určit čtvrtou linii, osu symetrie složení odrazů skrz (X,−X), (1, -1) a (y,−y). Tento řádek je také kolmý na (0, ∞), a má tedy tvar (z,−z) pro nějaký konec z. Alternativně lze průsečík této přímky s přímkou (0, ∞) najít přidáním délek úseček od křižovatky s (1, -1) ke křižovatkám dalších dvou bodů. Přesně jedna ze dvou možných možností pro z, sudý počet čtyř prvků 1, X, y, a z leží na stejné straně přímky (0, ∞) jako každý jiný. Součet X + y je definována jako tato volbaz.

Protože ji lze definovat přidáním délek úseček, splňuje tato operace požadavek operace násobení nad polem, že tvoří abelianskou skupinu nad nenulovými prvky pole s identitou jedna. Inverzní operace skupiny je odrazem konce přes čáru (1, -1). Tuto operaci násobení lze také ukázat, že se řídí distribuční vlastnictví společně s doplňkovým provozem pole.

Tuhé pohyby

Nechat ${ displaystyle scriptstyle Pi}$ být hyperbolická rovina a H jeho pole konců, jak je uvedeno výše. V letadle ${ displaystyle scriptstyle Pi}$ , my máme tuhé pohyby a jejich účinky na konce takto:

Odraz v ${ displaystyle scriptstyle (0, , infty)}$ posílá ${ displaystyle scriptstyle x , v , H '}$ do -X.

{ displaystyle x '= - x. ,}

Odraz v (1, -1) dává,

{ displaystyle x '= {1 nad x}. ,}

Překlad podél ${ displaystyle scriptstyle (0, , infty)}$ který posílá 1 každému ${ displaystyle scriptstyle a , v , H}$ , A > 0 je reprezentováno

{ displaystyle x '= sekera. ,}

Pro všechny ${ displaystyle scriptstyle a , v , H}$ , je tuhý pohyb σ_(1/2)A σ₀, složení odrazu v linii ${ displaystyle scriptstyle (0, infty)}$ a odraz v řadě ${ displaystyle scriptstyle ((1/2) a, , infty)}$ , který se nazývá rotace kolem ${ displaystyle scriptstyle infty}$ darováno

{ displaystyle x '= x + a. ,}

The otáčení kolem bodu Ó, který pošle 0 na libovolný daný konec ${ displaystyle scriptstyle a , v , H}$ , efekty jako

{ displaystyle x '= { frac {x + a} {1-osa}}}

na koncích. Rotace kolem Ó odesílání 0 na

{ displaystyle scriptstyle infty}

dává

{ displaystyle x '= - {1 nad x}.}

Pro rozsáhlejší léčbu, než může tento článek poskytnout, se poraďte.^[2]

Reference

^ Hilbert, „Nový vývoj Bolyai-Lobahevskian Geometry“ jako dodatek III v „Základy geometrie“, 1971.
^ Robin Hartshorne, „Geometry: Euclid and Beyond“, Springer-Verlag, 2000, oddíl 41

[1] Hilbert, „Nový vývoj Bolyai-Lobahevskian Geometry“ jako dodatek III v „Základy geometrie“, 1971.

[2] Robin Hartshorne, „Geometry: Euclid and Beyond“, Springer-Verlag, 2000, oddíl 41

[1]

[2]