Helmholtzova cívka - Helmholtz coil

Helmholtzova cívka

Schematická kresba cívky Helmholtz

A Helmholtzova cívka je zařízení pro výrobu oblasti téměř uniformní magnetické pole, pojmenovaný po německém fyzikovi Hermann von Helmholtz. Skládá se ze dvou elektromagnety na stejné ose. Kromě vytváření magnetických polí se Helmholtzovy cívky používají také ve vědeckých zařízeních k rušení vnějších magnetických polí, jako je magnetické pole Země.

Paprsek katodových paprsků ve vakuové trubici ohnutý do kruhu Helmholtzovou cívkou

Popis

Helmholtzův pár se skládá ze dvou identických kruhových magnetických cívek, které jsou umístěny symetricky podél společné osy, jedna na každé straně experimentální oblasti a oddělené vzdáleností ${ displaystyle h}$ se rovná poloměru ${ displaystyle R}$ cívky. Každá cívka nese stejné elektrický proud ve stejném směru.^[1]

Nastavení ${ displaystyle h = R}$ , což je to, co definuje Helmholtzův pár, minimalizuje nerovnoměrnost pole ve středu cívek ve smyslu nastavení ${ displaystyle částečné ^ {2} B / částečné x ^ {2} = 0}$ ^[2] (což znamená, že první nenulový derivát je ${ displaystyle částečné ^ {4} B / částečné x ^ {4}}$ jak je vysvětleno níže), ale ponechává asi 7% variaci intenzity pole mezi středem a rovinami cívek. O něco větší hodnota ${ displaystyle h}$ snižuje rozdíl v poli mezi středem a rovinami cívek, na úkor zhoršení uniformity pole v oblasti blízko středu, měřeno ${ displaystyle částečné ^ {2} B / částečné x ^ {2}}$ .^[3]

V některých aplikacích se Helmholtzova cívka používá k vyřazení Zemské magnetické pole, produkující oblast s intenzitou magnetického pole mnohem blížící se nule.^[4]

Matematika

Čáry magnetického pole v rovině půlící aktuální smyčky. Všimněte si, že pole je přibližně rovnoměrné mezi dvojicí cívek. (Na tomto obrázku jsou cívky umístěny vedle sebe: osa je vodorovná.)

Indukce magnetického pole podél osy procházející středem cívek; z = 0 je bod uprostřed vzdálenosti mezi cívkami

Obrysy ukazující velikost magnetického pole poblíž dvojice cívek, přičemž jedna cívka je nahoře a druhá dole. Uvnitř centrální „chobotnice“ je pole v rozmezí 1% od její centrální hodnoty B₀. Osm obrysů je pro polní velikosti 0,5B₀, 0.8 B₀, 0.9 B₀, 0.95 B₀, 0.99 B₀, 1.01 B₀, 1.05 B₀a 1.1B₀.

Výpočet přesného magnetického pole v jakémkoli bodě ve vesmíru je matematicky složitý a zahrnuje studium Besselovy funkce. Věci jsou jednodušší podél osy dvojice cívek a je vhodné myslet na Taylor série expanze intenzity pole jako funkce ${ displaystyle x}$ , vzdálenost od středového bodu dvojice cívek podél osy. Symetrií jsou liché řádové členy v expanzi nulové. Uspořádáním cívek tak, aby původ ${ displaystyle x = 0}$ je inflexní bod pro intenzitu pole způsobenou každou cívkou zvlášť, lze zaručit, že objednávka ${ displaystyle x ^ {2}}$ termín je také nula, a proto je úvodní nekonstantní člen řádu ${ displaystyle x ^ {4}}$ . Inflexní bod pro jednoduchou cívku je umístěn podél osy cívky ve vzdálenosti ${ displaystyle R / 2}$ z jeho středu. Takže umístění pro dvě cívky jsou ${ displaystyle x = pm R / 2}$ .

Výpočet podrobně popsaný níže poskytuje přesnou hodnotu magnetického pole ve středu. Pokud je poloměr R, počet závitů v každé cívce je n a proud skrz cívky je Já, pak magnetické pole B ve středu mezi cívkami bude dáno vztahem

{ displaystyle B = { left ({ frac {4} {5}} right)} ^ {3/2} { frac { mu _ {0} nI} {R}},}

kde ${ displaystyle mu _ {0}}$ je propustnost volného prostoru ( ${ displaystyle 4 pi krát 10 ^ {- 7} { text {T}} cdot { text {m / A}}}$ ).

Derivace

Začněte vzorcem pro pole na ose kvůli jediné drátové smyčce, která je sama odvozena z Biot – Savartův zákon:^[5]

{ displaystyle B_ {1} (x) = { frac { mu _ {0} IR ^ {2}} {2 (R ^ {2} + x ^ {2}) ^ {3/2}}} .}

Tady

{ displaystyle mu _ {0} ;}

= konstanta propustnosti =

{ displaystyle 4 pi krát 10 ^ {- 7} { text {T}} cdot { text {m / A}} = 1,257 krát 10 ^ {- 6} { text {T}} cdot { text {m / A}},}

{ displaystyle I ;}

= proud cívky, v ampéry,

{ displaystyle R ;}

= poloměr cívky, v metrech,

{ displaystyle x ;}

= vzdálenost cívky, v ose, k bodu, v metrech.

Cívky Helmholtz se skládají z n otáčky drátu, takže ekvivalentní proud v jednootáčkové cívce je n násobek proudu Já v n- otočná cívka. Střídání nI pro Já ve výše uvedeném vzorci dává pole pro n- otočná cívka:

{ displaystyle B_ {1} (x) = { frac { mu _ {0} nIR ^ {2}} {2 (R ^ {2} + x ^ {2}) ^ {3/2}}} .}

V Helmholtzově cívce má bod uprostřed mezi dvěma smyčkami X hodnota rovnající se R / 2, takže spočítejte intenzitu pole v tomto bodě:

{ displaystyle B_ {1} left ({ frac {R} {2}} right) = { frac { mu _ {0} nIR ^ {2}} {2 left (R ^ {2} + left ({ frac {R} {2}} right) ^ {2} right) ^ {3/2}}}.}

Namísto jedné jsou také dvě cívky (výše uvedená cívka je na X= 0; tam je druhá cívka na X=R). Ze symetrie bude síla pole ve středu dvojnásobkem hodnoty jedné cívky:

{ displaystyle { begin {aligned} B left ({ frac {R} {2}} right) & = 2B_ {1} left ({ frac {R} {2}} right) & = { frac {2 mu _ {0} nIR ^ {2}} {2 left (R ^ {2} + left ({ frac {R} {2}} right) ^ {2} right) ^ {3/2}}} = { frac { mu _ {0} nIR ^ {2}} { left (R ^ {2} + left ({ frac {R} {2} } right) ^ {2} right) ^ {3/2}}} & = { frac { mu _ {0} nIR ^ {2}} { left (R ^ {2} + { frac {1} {4}} R ^ {2} vpravo) ^ {3/2}}} = { frac { mu _ {0} nIR ^ {2}} { vlevo ({ frac { 5} {4}} R ^ {2} right) ^ {3/2}}} & = { left ({ frac {4} {5}} right)} ^ {3/2} { frac { mu _ {0} nI} {R}} & = { left ({ frac {8} {5 { sqrt {5}}}} right)} { frac { mu _ {0} nI} {R}}. end {aligned}}}

Časově proměnné magnetické pole

Většina Helmholtzových cívek používá stejnosměrný (stejnosměrný) proud k vytváření statického magnetického pole. Mnoho aplikací a experimentů vyžaduje časově proměnné magnetické pole. Mezi tyto aplikace patří testy citlivosti na magnetické pole, vědecké experimenty a biomedicínské studie (interakce mezi magnetickým polem a živou tkání). Požadovaná magnetická pole jsou obvykle pulzní nebo kontinuální sinusové vlny. Frekvenční rozsah magnetického pole může být kdekoli od téměř stejnosměrného proudu (0 Hz) do mnoha kilohertz nebo dokonce megahertzů (MHz). Pro generování požadovaného časově proměnného magnetického pole je zapotřebí budič AC Helmholtz. Ovladač zesilovače průběhu musí být schopen generovat vysoký střídavý proud, aby vytvořil magnetické pole.

Napětí a proud řidiče

Použijte výše uvedenou rovnici v sekci matematiky pro výpočet proudu cívky pro požadované magnetické pole, $B$ .

${ displaystyle I = left ({ frac {5} {4}} right) ^ {3/2} left ({ frac {BR} { mu _ {0} n}} right)}$

kde ${ displaystyle mu _ {0}}$ je propustnost volného prostoru nebo ${ displaystyle 4 pi krát 10 ^ {- 7} { text {T}} cdot { text {m / A}} = 1,257 krát 10 ^ {- 6} { text {T}} cdot { text {m / A}},}$

${ displaystyle I ;}$ = proud cívky, v ampérech,

${ displaystyle R ;}$ = poloměr cívky, v metrech,

n = počet závitů v každé cívce.

Pomocí generátoru funkcí a budiče zesilovače silného proudu pro generování vysokofrekvenčního magnetického pole Helmholtz

Poté vypočítejte požadované napětí zesilovače budiče Helmholtzovy cívky:^[6]

{ displaystyle V = I { sqrt {{ bigl [} omega { bigl (} L_ {1} + L_ {2} { bigr)} { bigr]} ^ {2} + { bigl ( } R_ {1} + R_ {2} { bigr)} ^ {2}}}}

kde

$Já$ je špičkový proud,
$ω$ je úhlová frekvence nebo $ω = 2 πf$ ,
$L 1$ a $L 2$ jsou indukčnosti dvou Helmholtzových cívek a
$R 1$ a $R 2$ jsou odpory dvou cívek.

Vysokofrekvenční série rezonanční

Generování statického magnetického pole je relativně snadné; síla pole je úměrná proudu. Generování vysokofrekvenčního magnetického pole je náročnější. Cívky jsou induktory a jejich impedance se zvyšuje úměrně s frekvencí. K zajištění stejné intenzity pole při dvojnásobné frekvenci je zapotřebí dvojnásobné napětí na cívce. Místo přímého pohonu cívky s vysokým napětím lze k zajištění vysokého napětí použít sériový rezonanční obvod.^[7] K cívkám je sériově přidán kondenzátor. Kapacita se volí tak, aby cívka rezonovala na požadované frekvenci. Zůstává pouze parazitický odpor cívek. Tato metoda funguje pouze na frekvencích blízkých rezonanční frekvenci; generování pole na jiných frekvencích vyžaduje různé kondenzátory. Rezonanční frekvence Helmholtzovy cívky, ${ displaystyle f_ {0}}$ a hodnota kondenzátoru C jsou uvedeny níže.^[6]

{ displaystyle f_ {0} = { frac {1} {2 pi { sqrt { vlevo (L_ {1} + L_ {2} vpravo) C}}}}}

{ displaystyle C = { frac {1} { doleva (2 pi f doprava) ^ {2} doleva (L_ {1} + L_ {2} doprava)}}}

Maxwellovy cívky

Helmholtzovy cívky (obruče) na třech kolmých osách použitých ke zrušení magnetického pole Země uvnitř vakuové nádrže v experimentu s elektronovým paprskem z roku 1957

Aby se zlepšila uniformita pole v prostoru uvnitř cívek, lze přidat další cívky kolem vnějšku. James Clerk Maxwell v roce 1873 ukázal, že třetí cívka většího průměru umístěná uprostřed mezi dvěma Helmholtzovými cívkami se vzdáleností cívky zvětšila od poloměru cívky ${ displaystyle R}$ na ${ displaystyle { sqrt {3}} R}$ může snížit rozptyl pole na ose na nulu až po šestou derivaci polohy. Někdy se tomu říká a Maxwellova cívka.

Viz také

Solenoid
Halbachovo pole
A magnetická láhev má stejnou strukturu jako Helmholtzovy cívky, ale s magnety oddělenými dále od sebe, takže pole se rozpíná ve středu a zachycuje nabité částice s rozbíhajícími se siločarami. Pokud je jedna cívka obrácena, produkuje a pasti na hroty, který také zachycuje nabité částice.^[8]
Cívky Helmholtz byly navrženy a vyrobeny pro Army Research Laboratory laboratoř pro testování elektromagnetických kompozitů v roce 1993, pro testování kompozitních materiálů na nízkofrekvenční magnetická pole.^[9]

Reference

^ Ramsden, Edward (2006). Hallovy senzory: teorie a aplikace (2. vyd.). Amsterdam: Elsevier / Newnes. p. 195. ISBN 978-0-75067934-3.
^ Helmholtzova cívka v jednotkách CGS Archivováno 24. března 2012, v Wayback Machine
^ Elektromagnetismus
^ „Earth Field Magnetometer: Helmholtz coil“ autor Richard Wotiz 2004 Archivováno 28. června 2007, v Archiv. Dnes
^ http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/HBASE/magnetic/curloo.html#c3
^ ^A ^b Yang, KC. „Vysokofrekvenční Helmholtzovy cívky generují magnetická pole“. EDN. Citováno 2016-01-27.
^ "Vysokofrekvenční elektromagnetická cívka rezonanční". www.accelinstruments.com. Citováno 2016-02-25.
^ http://radphys4.c.u-tokyo.ac.jp/asacusa/wiki/index.php?Cusp%20trap
^ J, DeTroye, David; J, Chase, Ronald (listopad 1994). „Výpočet a měření polí Helmholtzovy cívky“. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

externí odkazy

Pole osy ideální Helmholtzovy cívky
Axiální pole skutečného páru cívek Helmholtz
Helmholtz-Coil Fields Franz Kraft, Demonstrační projekt Wolfram.
Kevin Kuns (2007) Výpočet magnetického pole uvnitř plazmové komory, používá eliptické integrály a jejich deriváty vypočítat pole mimo osu z PBworks.
DeTroye, David J .; Chase, Ronald J. (listopad 1994), Výpočet a měření polí Helmholtzovy cívky (PDF), Army Research Laboratory, ARL-TN-35
Magnetická pole cívek
http://physicsx.pr.erau.edu/HelmholtzCoils/

[1] Ramsden, Edward (2006). Hallovy senzory: teorie a aplikace (2. vyd.). Amsterdam: Elsevier / Newnes. p. 195. ISBN 978-0-75067934-3.

[2] Helmholtzova cívka v jednotkách CGS Archivováno 24. března 2012, v Wayback Machine

[3] Elektromagnetismus

[4] „Earth Field Magnetometer: Helmholtz coil“ autor Richard Wotiz 2004 Archivováno 28. června 2007, v Archiv. Dnes

[5] ttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/HBASE/magnetic/curloo.html#c3

[:0-6] A ^b Yang, KC. „Vysokofrekvenční Helmholtzovy cívky generují magnetická pole“. EDN. Citováno 2016-01-27.

[7] "Vysokofrekvenční elektromagnetická cívka rezonanční". www.accelinstruments.com. Citováno 2016-02-25.

[8] ttp://radphys4.c.u-tokyo.ac.jp/asacusa/wiki/index.php?Cusp%20trap

[9] J, DeTroye, David; J, Chase, Ronald (listopad 1994). „Výpočet a měření polí Helmholtzovy cívky“. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]