Věta Helly – Bray - Helly–Bray theorem

v teorie pravděpodobnosti, Věta Helly – Bray se týká slabá konvergence z kumulativní distribuční funkce ke konvergenci očekávání jisté měřitelné funkce. Je pojmenován po Eduard Helly a Hubert Evelyn Bray.

Nechat F a F₁, F₂, ... být kumulativní distribuční funkce na skutečná linie. Věta Helly – Bray uvádí, že pokud F_n slabě konverguje k F, pak

${ displaystyle int _ { mathbb {R}} g (x) , dF_ {n} (x) quad { xrightarrow [{n to infty}] {}} quad int _ { mathbb {R}} g (x) , dF (x)}$

pro každého ohraničený, spojitá funkce G: R → R, kde jsou zapojené integrály Riemann – Stieltjesovy integrály.

Všimněte si, že pokud X a X₁, X₂, ... jsou náhodné proměnné odpovídající těmto distribučním funkcím, pak věta Helly – Bray neznamená, že E (X_n) → E (X), od té doby G(X) = X není omezená funkce.

Ve skutečnosti platí silnější a obecnější věta. Nechat P a P₁, P₂, ... být pravděpodobnostní opatření na některých soubor S. Pak P_n slabě konverguje k P kdyby a jen kdyby

${ displaystyle int _ {S} g , dP_ {n} quad { xrightarrow [{n to infty}] {}} quad int _ {S} g , dP,}$

pro všechny ohraničené, spojité a skutečný funkce zapnuty S. (Integrály v této verzi věty jsou Lebesgue – Stieltjesovy integrály.)

Obecnější věta výše je někdy brána jako definování slabá konvergence opatření (viz Billingsley, 1999, s. 3).

Reference

1. Patrick Billingsley (1999). Konvergence pravděpodobnostních opatření, 2. vyd. John Wiley & Sons, New York. ISBN  0-471-19745-9.

Tento článek obsahuje materiál z Helly – Brayovy věty PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.