v teorie pravděpodobnosti a statistika, harmonické rozdělení je spojité rozdělení pravděpodobnosti. Objevil jej Étienne Halphen, který se začal zajímat o statistické modelování přírodních jevů. Jeho praktické zkušenosti s analýzou dat ho motivovaly k průkopnické práci v novém systému distribucí, který poskytoval dostatečnou flexibilitu, aby se vešel do široké škály datových souborů. Halphen omezil své hledání na distribuce, jejichž parametry lze odhadnout pomocí jednoduchých statistických přístupů. Poté Halphen poprvé představil to, co nazval harmonické rozdělení nebo harmonický zákon. Harmonický zákon je zvláštním případem zobecněné inverzní Gaussovo rozdělení rodina, když .
Jedním z úkolů Halphenu, když pracoval jako statistik pro Electricité de France, bylo modelování měsíčního průtoku vody ve vodních elektrárnách. Halphen si uvědomil, že Pearsonův systém rozdělení pravděpodobnosti nelze vyřešit; navzdory jeho pozoruhodným vlastnostem to bylo pro jeho účel nedostatečné. Halphenovým cílem proto bylo získat rozdělení pravděpodobnosti se dvěma parametry, které by se exponenciálně rozpadlo jak pro velké, tak pro malé toky.
V roce 1941 se Halphen rozhodl, že ve vhodně upravených jednotkách bude hustota X by měl být stejný jako u 1 /X.[1] Při této úvaze našel Halphen funkci harmonické hustoty. V současné době známé jako hyperbolická distribuce, studovali Rukhin (1974) a Barndorff-Nielsen (1978).[2]
Harmonický zákon je jedinou dvojparametrovou rodinou distribucí, která je uzavřena změnou měřítka a převrácením, takže odhadem maximální pravděpodobnosti střední hodnoty populace je samememean (Gaussův princip).[3]
V roce 1946 si Halphen uvědomil, že zavedení dalšího parametru může zlepšit flexibilitu. Jeho úsilí ho vedlo k zobecnění harmonického zákona k získání zobecněné inverzní Gaussovo rozdělení hustota.[1]
Definice
Zápis
Harmonické rozdělení bude označeno . Jako výsledek, když a náhodná proměnnáX je distribuován podle harmonického zákona, parametru stupnice m je medián populace a A je parametr tvaru.
Funkce hustoty pravděpodobnosti
The funkce hustoty harmonického zákona, který závisí na dvou parametrech,[3] má formu,
Hustota zobecněné inverzní gaussovské distribuční rodiny odpovídá harmonickému zákonu, když .[3]
Když má sklon k nekonečnu, lze harmonický zákon aproximovat a normální distribuce. To je naznačeno prokázáním, že pokud má tedy sklon k nekonečnu , což je lineární transformace X, má sklon k normální distribuce ().
To vysvětluje, proč normální distribuce lze úspěšně použít pro určité datové sady poměrů.[4]
Tato rodina má zajímavou vlastnost, Pitmanův odhad parametru umístění nezávisí na volbě funkce ztráty. Tuto vlastnost splňují pouze dva statistické modely: Jeden je normální rodina distribucí a druhý je tříparametrový statistický model, který obsahuje logicko-harmonický zákon.[2]
^ AbKots, Samuel L. (1982–1989). Encyklopedie statistických věd. 5. str. 3059–3061 3069–3072.
^ AbRukhin, A.L. (1978). "Silně symetrické rodiny a statistická analýza jejich parametrů". Journal of Soviet Mathematics. 9: 886–910.
^ AbCdPuig, Pere (2008). „Poznámka k harmonickému zákonu: Dvouparametrická rodina rozdělení pro poměry“. Statistika a pravděpodobnostní dopisy. 78: 320–326.
^ AbCdEPerrault, L .; Bobée, B .; Rasmussen, P.F. (1999). „Halphen distribuční systém. I: Matematické a statistické vlastnosti“. J. Hydrol. Eng. 4 (3): 189–199.