Gyroskopický tenzor - Gyration tensor

v fyzika, tenzor gyrace je tenzor který popisuje druhý momenty pozice sbírky částice

${displaystyle S_ {mn} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {frac {1} {N}} součet _ {i = 1} ^ {N} r_ {m} ^ {(i)} r_ { n} ^ {(i)}}$

kde ${displaystyle r_ {m} ^ {(i)}}$ je ${displaystyle mathrm {m ^ {th}}}$ Kartézská souřadnice polohy vektor ${displaystyle mathbf {r} ^ {(i)}}$ z ${displaystyle mathrm {i ^ {th}}}$ částice. The původ z souřadnicový systém byl vybrán tak, že

${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} mathbf {r} ^ {(i)} = 0}$

tj. v systému těžiště ${displaystyle r_ {CM}}$. Kde

${displaystyle r_ {CM} = {frac {1} {N}} součet _ {i = 1} ^ {N} mathbf {r} ^ {(i)}}$

Další definice, která je matematicky identická, ale poskytuje alternativní metodu výpočtu, je:

${displaystyle S_ {mn} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {frac {1} {2N ^ {2}}} součet _ {i = 1} ^ {N} součet _ {j = 1} ^ {N} (r_ {m} ^ {(i)} - r_ {m} ^ {(j)}) (r_ {n} ^ {(i)} - r_ {n} ^ {(j)})}$

Složka x-y tenzoru gyrace pro částice v kartézských souřadnicích by tedy byla:

${displaystyle S_ {xy} = {frac {1} {2N ^ {2}}} součet _ {i = 1} ^ {N} součet _ {j = 1} ^ {N} (x_ {i} -x_ { j}) (y_ {i} -y_ {j})}$

V limitu kontinua

${displaystyle S_ {mn} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {dfrac {int dmathbf {r} ho (mathbf {r}) r_ {m} r_ {n}} {int dmathbf {r} ho ( mathbf {r})}}}$

kde ${displaystyle ho (mathbf {r})}$ představuje početní hustotu částic v poloze ${displaystyle mathbf {r}}$.

Ačkoli mají různé jednotky, tenzor gyrace souvisí s moment setrvačnosti tenzor. Klíčovým rozdílem je, že pozice částic jsou váženy Hmotnost v tenzoru setrvačnosti, zatímco tenzor gyrace závisí pouze na polohách částic; hmotnost nehraje žádnou roli při definování tenzoru gyrace.

Diagonalizace

Protože tenzor gyrace je symetrický 3x3 matice, a Kartézský souřadnicový systém lze najít ve kterém je úhlopříčka

${displaystyle mathbf {S} = {egin {bmatrix} lambda _ {x} ^ {2} & 0 & 0 0 & lambda _ {y} ^ {2} & 0 0 & 0 & lambda _ {z} ^ {2} end {bmatrix}}}$

kde osy jsou vybrány tak, aby byly uspořádány diagonální prvky ${displaystyle lambda _ {x} ^ {2} leq lambda _ {y} ^ {2} leq lambda _ {z} ^ {2}}$. Tyto diagonální prvky se nazývají hlavní momenty gyračního tenzoru.

Deskriptory tvaru

Hlavní momenty lze kombinovat a získat několik parametrů, které popisují distribuci částic. Na druhou poloměr kroužení je součet hlavních momentů

${displaystyle R_ {g} ^ {2} = lambda _ {x} ^ {2} + lambda _ {y} ^ {2} + lambda _ {z} ^ {2}}$

The asférickost ${displaystyle b}$ je definováno

${displaystyle b {stackrel {mathrm {def}} {=}} lambda _ {z} ^ {2} - {frac {1} {2}} vlevo (lambda _ {x} ^ {2} + lambda _ {y } ^ {2} ight) = {frac {3} {2}} lambda _ {z} ^ {2} - {frac {R_ {g} ^ {2}} {2}}}$

což je vždy nezáporné a nulové pouze tehdy, když jsou tři hlavní momenty stejné, λ_X = λ_y = λ_z. Tato nulová podmínka je splněna, když je distribuce částic sféricky symetrická (odtud název asférickost), ale také kdykoli je distribuce částic symetrická vzhledem ke třem souřadným osám, např. když jsou částice distribuovány rovnoměrně na krychle, čtyřstěn nebo jiný Platonická pevná látka.

Podobně acylindricity ${displaystyle c}$ je definováno

${displaystyle c {stackrel {mathrm {def}} {=}} lambda _ {y} ^ {2} -lambda _ {x} ^ {2}}$

což je vždy nezáporné a nula pouze tehdy, když jsou dva hlavní momenty stejné, λ_X = λ_yTato nulová podmínka je splněna, když je rozdělení částic válcově symetrické (odtud název, acylindricity), ale také kdykoli je rozdělení částic symetrické vzhledem ke dvěma souřadným osám, např. když jsou částice rovnoměrně rozloženy na pravidelný hranol.

Nakonec relativní tvarová anizotropie ${displaystyle kappa ^ {2}}$ je definováno

${displaystyle kappa ^ {2} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {frac {b ^ {2} + (3/4) c ^ {2}} {R_ {g} ^ {4}}} = {frac {3} {2}} {frac {lambda _ {x} ^ {4} + lambda _ {y} ^ {4} + lambda _ {z} ^ {4}} {(lambda _ {x} ^ {2} + lambda _ {y} ^ {2} + lambda _ {z} ^ {2}) ^ {2}}} - {frac {1} {2}}}$

který je ohraničen mezi nulou a jednou. ${displaystyle kappa ^ {2}}$ = 0 nastane, pouze pokud jsou všechny body sféricky symetrické, a ${displaystyle kappa ^ {2}}$ = 1 nastane, pouze pokud všechny body leží na přímce.

Reference

• Mattice, WL; Suter, UW (1994). Konformační teorie velkých molekul. Wiley Interscience. ISBN  0-471-84338-5.
• Theodorou, DN; Suter, UW (1985). "Tvar nerušených lineárních polymerů: polypropylen". Makromolekuly. 18 (6): 1206–1214. Bibcode:1985MaMol..18.1206T. doi:10.1021 / ma00148a028.