Gompertzova konstanta - Gompertz constant

v matematika, Gompertzova konstanta nebo Euler – Gompertzova konstanta, označeno ${ displaystyle G}$, se objevuje v integrálních hodnoceních a jako hodnota speciální funkce. Je pojmenován po B. Gompertz.

To může být definováno pokračující zlomek

${ displaystyle G = { frac {1} {2 - { frac {1} {4 - { frac {4} {6 - { frac {9} {8 - { frac {16} {10- { frac {25} {12 - { frac {36} {14 - { frac {49} {16- dots}}}}}}}}}}}}}}}}}$

nebo alternativně

${ displaystyle G = { frac {1} {1 + { frac {1} {1 + { frac {1} {1 + { frac {2} {1 + { frac {2} {1+ { frac {3} {1 + { frac {3} {1 + { frac {4} {1+ dots}}}}}}}}}}}}}}}}$

Nejčastější výskyt ${ displaystyle G}$ je v následujících integrálech:

${ displaystyle G = int _ {0} ^ { infty} ln (1 + x) e ^ {- x} dx = int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- x}} {1 + x}} dx = int _ {0} ^ {1} { frac {1} {1- log (x)}} dx.}$

Číselná hodnota ${ displaystyle G}$ je o

${ displaystyle G = 0,596347362323194074341078499369279376074 tečky}$

Když Euler studoval odlišné nekonečné řady, narazil ${ displaystyle G}$ například prostřednictvím výše uvedených integrálních reprezentací. Le Lionnais volala ${ displaystyle G}$ Gompertzova konstanta kvůli své roli v analýza přežití.^[1]

V roce 2009 Alexander Aptekarev prokázal, že alespoň jeden z Euler – Mascheroniho konstanta a Euler-Gompertzova konstanta je iracionální. Tento výsledek vylepšil v roce 2012 Tanguy Rivoal, kde dokázal, že alespoň jeden z nich je transcendentální.^[2][3][4]

Totožnosti zahrnující Gompertzovu konstantu

Konstanta ${ displaystyle G}$ lze vyjádřit pomocí exponenciální integrál tak jako

${ displaystyle G = -e { textrm {Ei}} (- 1).}$

Uplatnění Taylorovy expanze z ${ displaystyle { textrm {Ei}}}$ máme zastoupení série

${ displaystyle G = -e left ( gamma + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {n cdot n!}} right) .}$

Gompertzova konstanta je spojena s Gregoryho koeficienty prostřednictvím vzorce I. Mező z roku 2013:^[5]

${ displaystyle G = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac { ln (n + 1)} {n!}} - sum _ {n = 0} ^ { infty} C_ {n + 1} {e cdot n! } - { frac {1} {2}}.}$

externí odkazy

• Wolfram MathWorld
• Vstup do OEIS

Poznámky