Fuzzy matematika - Fuzzy mathematics

Pro další použití viz Fuzzy matematika (disambiguation).

Fuzzy matematika tvoří obor matematiky včetně teorie fuzzy množin a fuzzy logika. Začalo to v roce 1965 po zveřejnění Lotfi Asker Zadeh klíčová práce Fuzzy množiny.[1]

Definice

Fuzzy podmnožina A sady X je funkce A: X → L, kde L je interval [0,1]. Tato funkce se také nazývá funkce členství. Funkce členství je zobecněním a charakteristická funkce nebo funkce indikátoru podmnožiny definované pro L = {0,1}. Obecněji lze použít úplnou mříž L v definici fuzzy podmnožiny A.[2]

Fuzzifikace

Vývoj fuzzifikace matematických konceptů lze rozdělit do tří fází:[3]

  1. přímá fuzzifikace během šedesátých a sedmdesátých let,
  2. exploze možných voleb v procesu generalizace během osmdesátých let,
  3. standardizace, axiomatizace a L-fuzzifikace v devadesátých letech.

Fuzzifikace matematických konceptů je obvykle založena na zobecnění těchto konceptů z charakteristických funkcí na členské funkce. Nechat A a B být dvě fuzzy podmnožiny X. Průsečík A ∩ B a unie A ∪ B jsou definovány takto: (A ∩ B)(X) = min (A(X),B(X)), (A ∪ B)(X) = max (A(X),B(X)) pro všechny X ∈ X. Namísto min a max lze použít t-norma a t-conorm[4] například, min (a, b) lze nahradit násobením ab. Přímá fuzzifikace je obvykle založena na min a max operace, protože v tomto případě lze více vlastností tradiční matematiky rozšířit na fuzzy případ.

Důležitým principem generalizace používaným při fuzzifikaci algebraických operací je vlastnost uzavření. Nechť * je binární operace X. Vlastnost uzavření pro fuzzy podmnožinu A z X je to pro všechny x, y ∈ X, A(X*y) ≥ min (A(X),A(y)). Nechť (G, *) být skupina a A fuzzy podmnožina G. Pak A je fuzzy podskupina G pokud pro všechny x, y v G, A(X*y−1) ≥ min (A(X),A(y−1)).

Podobný princip zobecnění se používá například pro fuzzifikaci vlastnosti přechodnosti. Nechat R být fuzzy vztah v X, tj. R je fuzzy podmnožina X × X. Pak R je tranzitivní, pokud pro všechny x, y, z v X, R(X,z) ≥ min (R(X,y),R(y,z)).

Fuzzy analogy

Fuzzy podskupiny a fuzzy podskupiny představil v roce 1971 A. Rosenfeld.[5][6][7]

Analogy dalších matematických předmětů byly přeloženy do fuzzy matematiky, jako je teorie fuzzy polí a fuzzy teorie Galois,[8] fuzzy topologie,[9][10] fuzzy geometrie,[11][12][13][14] fuzzy objednávky,[15] a fuzzy grafy.[16][17][18]

Viz také

Reference

  1. ^ Zadeh, L. A. (1965) "Fuzzy množiny", Informace a kontrola, 8, 338–353.
  2. ^ Goguen, J. (1967) „L-fuzzy množiny“, J. Math. Anální. Appl., 18, 145-174.
  3. ^ Kerre, E.E., Mordeson, J.N. (2005) „Historický přehled fuzzy matematiky“, Nová matematika a přírodní výpočty, 1, 1-26.
  4. ^ Klement, E.P., Mesiar, R., Pap, E. (2000) Trojúhelníkové normy. Dordrecht, Kluwer.
  5. ^ Rosenfeld, A. (1971) "Fuzzy groups", J. Math. Anální. Appl., 35, 512-517.
  6. ^ Mordeson, J.N., Malik, D.S., Kuroli, N. (2003) Fuzzy poloskupiny. Studies in Fuzziness and Soft Computing, sv. 131, Springer-Verlag
  7. ^ Mordeson, J.N., Bhutani, K.R., Rosenfeld, A. (2005) Fuzzy Group Theory. Studies in Fuzziness and Soft Computing, sv. 182. Springer-Verlag.
  8. ^ Mordeson, J.N., Malik, D.S (1998) Fuzzy komutativní algebra. World Scientific.
  9. ^ Chang, C.L. (1968) "Fuzzy topologické prostory", J. Math. Anální. Appl., 24, 182—190.
  10. ^ Liu, Y.-M., Luo, M.-K. (1997) Fuzzy topologie. Advances in Fuzzy Systems - Applications and Theory, vol. 9, World Scientific, Singapur.
  11. ^ Poston, Tim, „Fuzzy Geometry“.
  12. ^ Buckley, J. J., Eslami, E. (1997) „Fuzzy plane geometry I: Points and lines“. Fuzzy sady a systémy, 86, 179-187.
  13. ^ Ghosh, D., Chakraborty, D. (2012) „Analytical fuzzy plane geometry I“. Fuzzy sady a systémy, 209, 66-83.
  14. ^ Chakraborty, D. a Ghosh, D. (2014) „Analytical fuzzy plane geometry II“. Fuzzy sady a systémy, 243, 84–109.
  15. ^ Zadeh L.A. (1971) „Podobnostní vztahy a fuzzy objednávání“. Informovat. Sci., 3, 177–200.
  16. ^ Kaufmann, A. (1973). Úvod a la théorie des sous-ensembles flow. Paříž. Masson.
  17. ^ A. Rosenfeld, A. (1975) „Fuzzy graphs“. In: Zadeh, L.A., Fu, K.S., Tanaka, K., Shimura, M. (eds.), Fuzzy množiny a jejich aplikace v kognitivních a rozhodovacích procesech, Academic Press, New York, ISBN  978-0-12-775260-0, str. 77–95.
  18. ^ Yeh, R.T., Bang, S.Y. (1975) „Fuzzy grafy, fuzzy relace a jejich aplikace na shlukovou analýzu“. In: Zadeh, L.A., Fu, K.S., Tanaka, K., Shimura, M. (eds.), Fuzzy množiny a jejich aplikace v kognitivních a rozhodovacích procesech, Academic Press, New York, ISBN  978-0-12-775260-0, str. 125–149.

externí odkazy