Fuzzy subalgebra - Fuzzy subalgebra

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Leden 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Fuzzy subalgebry teorie je kapitolou teorie fuzzy množin. Získává se z interpretace vícehodnotové logiky axiomů obvykle vyjadřujících pojem subalgebra daného algebraická struktura.

Definice

Zvažte jazyk prvního řádu pro algebraické struktury s a monadický predikát symbol S. Pak a fuzzy subalgebra je fuzzy model teorie obsahující pro všechny n- operace h, axiomy

${displaystyle forall x_ {1}, ..., forall x_ {n} (S (x_ {1}) land ..... land S (x_ {n}) ightarrow S (h (x_ {1} ,. .., x_ {n}))}$

a pro jakoukoli konstantu c S (c).

První axiom vyjadřuje uzavření S vzhledem k operaci h a druhý vyjadřuje skutečnost, že c je prvek v S. Jako příklad předpokládejme, že oceňovací struktura je definováno v [0,1] a označeno ${displaystyle odot}$ operace v [0,1] použitá k interpretaci spojení. Pak je fuzzy subalgebra algebraické struktury, jejíž doménou je D, definována fuzzy podmnožinou s: D → [0,1] D tak, že pro každé d₁, ..., d_n v D, pokud h je výklad symbolu operace n-ary h, tedy

• ${displaystyle s (d_ {1}) odot ... odot s (d_ {n}) leq s (mathbf {h} (d_ {1}, ..., d_ {n}))}$

Navíc pokud C je interpretace konstanty c takové, že s (C) = 1.

Do značné míry studovaná třída fuzzy subalgeber je ta, ve které se operace provádí ${displaystyle odot}$ se shoduje s minimem. V takovém případě je okamžité prokázat následující tvrzení.

Tvrzení. Fuzzy podmnožina algebraické struktury definuje fuzzy subalgebru právě tehdy, když pro každé λ v [0,1] je uzavřený řez {x ∈ D: s (x) ≥ λ} s je subalgebra.

Fuzzy podskupiny a submonoidy

Fuzzy podskupiny a fuzzy submonoidy jsou obzvláště zajímavé třídy fuzzy subalgeber. V takovém případě fuzzy podmnožina s monoidu (M, •,u) je fuzzy submonoid kdyby a jen kdyby

1. ${displaystyle s (mathbf {u}) = 1}$
2. ${displaystyle s (x) odot s (y) leq s (xcdot y)}$

kde u je neutrální prvek v.

Vzhledem ke skupině G, a fuzzy podskupina G je fuzzy submonoid G takový, že

• s (x) ≤ s (x⁻¹).

Je možné dokázat, že pojem fuzzy podskupiny úzce souvisí s pojmy fuzzy ekvivalence. Ve skutečnosti předpokládejme, že S je množina, G skupina transformací v S a (G, s) fuzzy podskupina G. Pak nastavením

• e (x, y) = Sup {s (h): h je prvek v G takový, že h (x) = y}

získáme fuzzy ekvivalenci. Naopak, nechme e být fuzzy ekvivalencí v S a pro každou transformaci h S nastavíme

• s (h) = Inf {e (x, h (x)): x∈S}.

Pak s definuje fuzzy subskupina transformace v S. Podobným způsobem můžeme spojit fuzzy submonoidy s fuzzy řády.

Bibliografie

• Klir, G. a Bo Yuan, Fuzzy sady a fuzzy logika (1995) ISBN  978-0-13-101171-7
• Zimmermann H., Teorie fuzzy množin a její aplikace (2001), ISBN  978-0-7923-7435-0.
• Chakraborty H. a Das S., O fuzzy ekvivalenci 1, Fuzzy Sets and Systems, 11 (1983), 185-193.
• Demirci M., Recasens J., Fuzzy skupiny, fuzzy funkce a vztahy fuzzy ekvivalence, Fuzzy Sets and Systems, 144 (2004), 441-458.
• Di Nola A., Gerla G., Mřížkové algebryStochastica, 11 (1987), 137 - 150.
• Hájek P., Matematika fuzzy logiky. Kluwer 1998.
• Klir G., UTE H. St. Clair a Bo Yuan Základy a aplikace teorie fuzzy množiny,1997.
• Gerla G., Scarpati M., Podobnosti, fuzzy skupiny: spojení GaloisJ. Math. Anální. Appl., 292 (2004), 33-48.
• Mordeson J., Kiran R. Bhutani a Azriel Rosenfeld. Fuzzy Group Theory, Springer Series: Studies in Fuzziness and Soft Computing, Vol. 182, 2005.
• Rosenfeld A., Fuzzy skupinyJ. Math. Anální. Appl., 35 (1971), 512-517.
• Zadeh L.A., Fuzzy sady„„ Information and Control ““, 8 (1965) 338353.
• Zadeh L.A., Vztahy podobnosti a fuzzy řazení, Informovat. Sci. 3 (1971) 177–200.