Teorie možnosti - Possibility theory

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Únor 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Teorie možnosti je matematická teorie pro řešení určitých typů nejistota a je alternativou k teorie pravděpodobnosti. Využívá opatření možnosti a nutnosti mezi 0 a 1, v rozsahu od nemožného k možnému a zbytečného k nezbytnému. Profesor Lotfi Zadeh poprvé představil teorii možností v roce 1978 jako rozšíření své teorie o fuzzy množiny a fuzzy logika. Didier Dubois a Henri Prade dále přispěl k jeho rozvoji. Začátkem padesátých let ekonom G. L. S. Shackle navrhl min / max algebra popsat stupně potenciálního překvapení.

Formalizace možnosti

Pro jednoduchost předpokládejme, že vesmír diskurzu Ω je konečná množina. Možným měřítkem je funkce ${ displaystyle operatorname {pos}}$ z ${ displaystyle 2 ^ { Omega}}$ až [0, 1] takové, že:

Axiom 1: ${ displaystyle operatorname {pos} ( varnothing) = 0}$

Axiom 2: ${ displaystyle operatorname {pos} ( Omega) = 1}$

Axiom 3: ${ displaystyle operatorname {pos} (U cup V) = max left ( operatorname {pos} (U), operatorname {pos} (V) right)}$ pro jakékoli nesouvislé podmnožiny ${ displaystyle U}$ a ${ displaystyle V}$.

Z toho vyplývá, že stejně jako pravděpodobnost je míra možnosti určena jejím chováním na singletonech:

${ displaystyle operatorname {pos} (U) = max _ { omega v U} operatorname {pos} ( { omega })}$

pokud U je konečný nebo spočetně nekonečný.

Axiom 1 lze interpretovat jako předpoklad, že Ω je vyčerpávajícím popisem budoucích stavů světa, protože to znamená, že prvkům mimo Ω není dána váha víry.

Axiom 2 lze interpretovat jako předpoklad, že důkaz, ze kterého ${ displaystyle operatorname {pos}}$ byl postaven bez jakýchkoli rozporů. Technicky to znamená, že v Ω je alespoň jeden prvek s možností 1.

Axiom 3 odpovídá axiomu aditivity v pravděpodobnostech. Existuje však důležitý praktický rozdíl. Teorie možností je výpočetně pohodlnější, protože Axiomy 1–3 naznačují, že:

${ displaystyle operatorname {pos} (U cup V) = max left ( operatorname {pos} (U), operatorname {pos} (V) right)}$ pro žádný podmnožiny ${ displaystyle U}$ a ${ displaystyle V}$.

Protože je možné znát možnost spojení z možnosti každé složky, lze říci, že možnost je kompoziční s ohledem na provozovatele odborů. Všimněte si však, že není kompoziční vzhledem k operátoru křižovatky. Obvykle:

${ displaystyle operatorname {pos} (U cap V) leq min left ( operatorname {pos} (U), operatorname {pos} (V) right) leq max left ( operatorname {pos} (U), operatorname {pos} (V) right).}$

Když Ω není konečný, Axiom 3 může být nahrazen:

Pro všechny sady indexů ${ displaystyle I}$, pokud jsou podmnožiny ${ displaystyle U_ {i, , i in I}}$ jsou párově disjunktní, ${ displaystyle operatorname {pos} left ( cup _ {i in I} U_ {i} right) = sup _ {i in I} operatorname {pos} (U_ {i}).}$

Nutnost

Zatímco teorie pravděpodobnosti používá jediné číslo, pravděpodobnost, k popisu pravděpodobnosti události, teorie možností používá dva pojmy, možnost a nutnost akce. Pro jakoukoli sadu ${ displaystyle U}$, opatření nezbytnosti definuje

${ displaystyle operatorname {nec} (U) = 1- operatorname {pos} ({ overline {U}})}$

Ve výše uvedeném vzorci ${ displaystyle { overline {U}}}$ označuje doplněk ${ displaystyle U}$, to jsou prvky ${ displaystyle Omega}$ které nepatří ${ displaystyle U}$. Je jednoduché ukázat, že:

${ displaystyle operatorname {nec} (U) leq operatorname {pos} (U)}$ pro všechny ${ displaystyle U}$

a to:

${ displaystyle operatorname {nec} (U cap V) = min ( operatorname {nec} (U), operatorname {nec} (V))}$

Všimněte si, že na rozdíl od teorie pravděpodobnosti není možnost sebe-duální. To znamená pro každou událost ${ displaystyle U}$, máme pouze nerovnost:

${ displaystyle operatorname {pos} (U) + operatorname {pos} ({ overline {U}}) geq 1}$

Platí však následující pravidlo duality:

Pro každou událost ${ displaystyle U}$, buď ${ displaystyle operatorname {pos} (U) = 1}$nebo ${ displaystyle operatorname {nec} (U) = 0}$

Podle toho mohou být víry o události vyjádřeny číslem a bitem.

Výklad

Existují čtyři případy, které lze interpretovat takto:

${ displaystyle operatorname {nec} (U) = 1}$ znamená, že ${ displaystyle U}$ je nutné. ${ displaystyle U}$ je jistě pravda. Z toho vyplývá, že ${ displaystyle operatorname {pos} (U) = 1}$.

${ displaystyle operatorname {pos} (U) = 0}$ znamená, že ${ displaystyle U}$ je nemožné. ${ displaystyle U}$ je určitě nepravdivé. Z toho vyplývá, že ${ displaystyle operatorname {nec} (U) = 0}$.

${ displaystyle operatorname {pos} (U) = 1}$ znamená, že ${ displaystyle U}$ je možné. Nebyl bych vůbec překvapen, kdyby ${ displaystyle U}$ dojde. Opouští ${ displaystyle operatorname {nec} (U)}$ neomezený.

${ displaystyle operatorname {nec} (U) = 0}$ znamená, že ${ displaystyle U}$ je zbytečné. Nebyl bych vůbec překvapen, kdyby ${ displaystyle U}$ nedochází. Opouští ${ displaystyle operatorname {pos} (U)}$ neomezený.

Průsečík posledních dvou případů je ${ displaystyle operatorname {nec} (U) = 0}$ a ${ displaystyle operatorname {pos} (U) = 1}$ což znamená, že nevěřím vůbec ničemu ${ displaystyle U}$. Protože to umožňuje neurčitost, jako je tato, teorie možností souvisí s absolvováním mnohohodnotné logiky, jako je intuicionistická logika, spíše než klasická dvouhodnotová logika.

Všimněte si, že na rozdíl od možnosti je fuzzy logika kompoziční s ohledem na sjednocovací i křižovatkový operátor. Vztah s fuzzy teorií lze vysvětlit na následujícím klasickém příkladu.

• Fuzzy logika: Když je láhev napůl plná, lze říci, že úroveň pravdivosti tvrzení „Láhev je plná“ je 0,5. Slovo „plný“ je vnímáno jako fuzzy predikát popisující množství kapaliny v lahvi.
• Teorie možnosti: Existuje jedna láhev, buď úplně plná nebo úplně prázdná. Tvrzení „úroveň možnosti, že je láhev plná, je 0,5“ popisuje určitou míru víry. Jedním ze způsobů, jak interpretovat 0,5 v tomto návrhu, je definovat jeho význam jako: Jsem připraven vsadit, že je prázdný, pokud jsou šance rovnoměrné (1: 1) nebo lepší, a v žádném případě bych nesázel, že je plný.

Teorie možnosti jako nepřesná teorie pravděpodobnosti

Mezi teoriemi pravděpodobnosti a možností existuje rozsáhlá formální korespondence, kde operátor přidání odpovídá operátoru maximální.

Opatření možnosti lze chápat jako souhlásku míra věrohodnosti v Dempster – Shaferova teorie důkazů. Na operátory teorie možností lze pohlížet jako na velmi opatrnou verzi operátorů model přenositelné víry, moderní vývoj teorie důkazů.

Možnost může být viděna jako horní pravděpodobnost: jakákoli možnost distribuce definuje jedinečný sada kreditů soubor přípustných rozdělení pravděpodobnosti do

${ displaystyle K = left {, p: forall S p (S) leq operatorname {pos} (S) , right }.}$

To umožňuje studovat teorii možností pomocí nástrojů nepřesné pravděpodobnosti.

Logika nezbytnosti

Voláme zobecněná možnost každá funkce splňující Axiom 1 a Axiom 3. Říkáme zobecněná nutnost duál zobecněné možnosti. Zobecněné potřeby souvisejí s velmi jednoduchou a zajímavou fuzzy logikou, které říkáme logika nezbytnosti. V dedukčním aparátu logiky nutnosti jsou logické axiomy obvyklou klasikou tautologie. Existuje také pouze fuzzy pravidlo odvození, které rozšiřuje obvyklé Modus Ponens. Takové pravidlo říká, že pokud jsou α a α → β prokázány ve stupni λ, respektive μ, pak můžeme tvrdit β ve stupni min {λ, μ}. Je snadné vidět, že teorie takové logiky jsou zobecněné potřeby a že zcela konzistentní teorie se shodují s nezbytnostmi (viz například Gerla 2001).

Viz také

• Logická možnost
• Pravděpodobnostní logika
• Teorie fuzzy míry
• Horní a dolní pravděpodobnost
• Přenositelný model víry
• Náhodně fuzzy proměnná

Reference

• Dubois, Didier a Prade, Henri, “Teorie možností, teorie pravděpodobnosti a logika s více hodnotami: objasnění ", Annals of Mathematics and Artificial Intelligence 32:35–66, 2002.
• Gerla Giangiacomo, Fuzzy logika: Matematické nástroje pro přibližné uvažování, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 2001.
• Ladislav J. Kohout, “Teorie možnosti: Meta-axiomatika a sémantika ", Fuzzy sady a systémy 25:357-367, 1988.
• Zadeh, Lotfi, "Fuzzy množiny jako základ pro teorii možnosti", Fuzzy sady a systémy 1: 3–28, 1978. (Přetištěno Fuzzy sady a systémy 100 (dodatek): 9–34, 1999.)
• Brian R. Gaines a Ladislav J. Kohout, „Možné automaty“, Proceedings of the International Symposium on Multiple-Valued Logic, s. 183-192, Bloomington, Indiana, 13. - 16. května 1975.