Metoda Fujikawa - Fujikawa method

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Metoda Fujikawa“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Fujikawova metoda je způsob odvození chirální anomálie v kvantová teorie pole.

Předpokládejme, že Dirac pole ψ který se transformuje podle ρ zastoupení z kompaktní Lieova skupina G; a máme zázemí formulář připojení přijímání hodnot v Lež algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}} ,.}$ The Dirac operátor (v Feynman lomítko notace ) je

${ displaystyle D ! ! ! ! / { stackrel { mathrm {def}} {=}} částečný!!!!! + + iA ! ! ! /!$

a fermionická akce je dána

${ displaystyle int d ^ {d} x , { overline { psi}} iD ! ! ! ! / psi}$

The funkce oddílu je

${ displaystyle Z [A] = int { mathcal {D}} { overline { psi}} { mathcal {D}} psi , e ^ {- int d ^ {d} x , { overline { psi}} iD ! ! ! / , psi}.}$

The axiální symetrie transformace probíhá jako

${ displaystyle psi až e ^ {i gamma _ {d + 1} alfa (x)} psi ,}$

${ displaystyle { overline { psi}} na { overline { psi}} e ^ {i gamma _ {d + 1} alpha (x)}}$

${ displaystyle S až S + int d ^ {d} x , alfa (x) částečný _ { mu} vlevo ({ overline { psi}} gamma ^ { mu} gamma _ {d + 1} psi vpravo)}$

Klasicky to znamená, že chirální proud, ${ displaystyle j_ {d + 1} ^ { mu} equiv { overline { psi}} gamma ^ { mu} gamma _ {d + 1} psi}$ je konzervovaný, ${ displaystyle 0 = částečné _ { mu} j_ {d + 1} ^ { mu}}$.

Kvantově mechanicky není chirální proud konzervován: Jackiw to objevil kvůli nezmizení trojúhelníkového diagramu. Fujikawa to znovu interpretovala jako změnu míry funkce oddílu při chirální transformaci. Chcete-li vypočítat změnu míry pod chirální transformací, nejprve vezměte v úvahu Dirac fermiony na základě vlastních vektorů Dirac operátor:

${ displaystyle psi = součet limity _ {i} psi _ {i} a ^ {i},}$

${ displaystyle { overline { psi}} = součet limity _ {i} psi _ {i} b ^ {i},}$

kde ${ displaystyle {a ^ {i}, b ^ {i} }}$ jsou Grassmann oceněné koeficienty a ${ displaystyle { psi _ {i} }}$ jsou vlastní vektory Dirac operátor:

${ displaystyle D ! ! ! ! / psi _ {i} = - lambda _ {i} psi _ {i}.}$

Vlastní funkce jsou považovány za ortonormální s ohledem na integraci v d-dimenzionálním prostoru,

${ displaystyle delta _ {i} ^ {j} = int { frac {d ^ {d} x} {(2 pi) ^ {d}}} psi ^ { dagger j} (x) psi _ {i} (x).}$

Míra integrálu dráhy je pak definována jako:

${ displaystyle { mathcal {D}} psi { mathcal {D}} { overline { psi}} = prod limity _ {i} da ^ {i} db ^ {i}}$

Podle nekonečně chirální transformace napište

${ displaystyle psi až psi ^ { prime} = (1 + i alfa gama _ {d + 1}) psi = součet limity _ {i} psi _ {i} a ^ { prime i},}$

${ displaystyle { overline { psi}} to { overline { psi}} ^ { prime} = { overline { psi}} (1 + i alpha gamma _ {d + 1}) = sum limits _ {i} psi _ {i} b ^ { prime i}.}$

The Jacobian transformace lze nyní vypočítat pomocí ortonormalita z vlastní vektory

${ displaystyle C_ {j} ^ {i} equiv left ({ frac { delta a} { delta a ^ { prime}}} right) _ {j} ^ {i} = int d ^ {d} x , psi ^ { dagger i} (x) [1-i alpha (x) gamma _ {d + 1}] psi _ {j} (x) = delta _ { j} ^ {i} , - i int d ^ {d} x , alpha (x) psi ^ { dagger i} (x) gamma _ {d + 1} psi _ {j} (X).}$

Transformace koeficientů ${ displaystyle {b_ {i} }}$ se počítají stejným způsobem. Nakonec se kvantová míra změní jako

${ displaystyle { mathcal {D}} psi { mathcal {D}} { overline { psi}} = prod limity _ {i} da ^ {i} db ^ {i} = prod limity _ {i} da ^ { prime i} db ^ { prime i} { det} ^ {- 2} (C_ {j} ^ {i}),}$

Kde Jacobian je převrácená hodnota determinantu, protože integrační proměnné jsou Grassmannian, a 2 se objevuje, protože a a b přispívají stejně. Můžeme vypočítat determinant standardními technikami:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { det} ^ {- 2} (C_ {j} ^ {i}) & = exp left [-2 { rm {tr}} ln ( delta _ {j} ^ {i} -i int d ^ {d} x , alpha (x) psi ^ { dagger i} (x) gamma _ {d + 1} psi _ {j} ( x)) right] & = exp left [2i int d ^ {d} x , alpha (x) psi ^ { dagger i} (x) gamma _ {d + 1} psi _ {i} (x) right] end {zarovnáno}}}$

do prvního řádu v α (x).

Se specializací na případ, kdy α je konstanta, je Jacobian musí být upraveno, protože integrál je špatně definován jako zapsaný. Fujikawa zaměstnán regularizace tepelného jádra, takový, že

${ displaystylu d} x , psi ^ { dagger i} (x) gamma _ {d + 1} e ^ {- lambda _ {i} ^ {2} / M ^ {2}} psi _ {i } (x) & = 2i lim limits _ {M to infty} alpha int d ^ {d} x , psi ^ { dagger i} (x) gamma _ {d + 1} e ^ {{D ! ! ! / ,} ^ {2} / M ^ {2}} psi _ {i} (x) end {zarovnáno}}}$

(${ displaystyle {D ! ! ! ! /} ^ {2}}$ lze přepsat jako ${ displaystyle D ^ {2} + { tfrac {1} {4}} [ gamma ^ { mu}, gamma ^ { nu}] F _ { mu nu}}$a vlastní funkce lze rozšířit na základě rovinných vln)

${ displaystyle = 2i lim limity _ {M až infty} alpha int d ^ {d} x int { frac {d ^ {d} k} {(2 pi) ^ {d} }} int { frac {d ^ {d} k ^ { prime}} {(2 pi) ^ {d}}} psi ^ { dagger i} (k ^ { prime}) e ^ {ik ^ { prime} x} gamma _ {d + 1} e ^ {- k ^ {2} / M ^ {2} + 1 / (4M ^ {2}) [ gamma ^ { mu} , gamma ^ { nu}] F _ { mu nu}} e ^ {- ikx} psi _ {i} (k)}$

${ displaystyle = - { frac {-2 alpha} {(2 pi) ^ {d / 2} ({ frac {d} {2}})!}} ({ tfrac {1} {2 }} F) ^ {d / 2},}$

po aplikaci vztahu úplnosti pro vlastní vektory, provedení stopy přes γ-matice a převzetí limitu v M. Výsledek je vyjádřen jako intenzita pole 2-forma, ${ displaystyle F equiv F _ { mu nu} , dx ^ { mu} klín dx ^ { nu} ,.}$

Tento výsledek je ekvivalentní k ${ displaystyle ({ tfrac {d} {2}}) ^ { rm {th}}}$ Třída Chern z ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$- svazek nad d-dimenzionálním základním prostorem a dává chirální anomálie, zodpovědný za nezachování chirálního proudu.

Reference

• K. Fujikawa a H. Suzuki (květen 2004). Integrály cesty a kvantové anomálie. Clarendon Press. ISBN  0-19-852913-9.
• S. Weinberg (2001). Kvantová teorie polí. Svazek II: Moderní aplikace.. Cambridge University Press. ISBN  0-521-55002-5.