Frodasova věta - Frodas theorem - Wikipedia

v matematika, Darboux – Frodova věta, pojmenoval podle Alexandru Froda, rumunský matematik, popisuje soubor nespojitosti a monotónní funkce se skutečnou hodnotou skutečné proměnné. Obvykle se tato věta objevuje v literatuře bez jména. Byl napsán Frodovou prací v roce 1929.^{[1][2][pochybný – diskutovat]}. Jak je v práci uznáno, věta je ve skutečnosti způsobena Jean Gaston Darboux.^[3]

Definice

1. Zvažte funkci F skutečné proměnné X se skutečnými hodnotami definovanými v sousedství bodu ${ displaystyle x_ {0}}$ a funkce F je diskontinuální v bodě na skutečné ose ${ displaystyle x = x_ {0}}$. Zavoláme a odnímatelná diskontinuita nebo a skoková diskontinuita A diskontinuita prvního druhu.^[4]
2. Označit ${ displaystyle f (x + 0): = lim _ {h searrow 0} f (x + h)}$ a ${ displaystyle f (x-0): = lim _ {h searrow 0} f (x-h)}$. Pak pokud ${ displaystyle f (x_ {0} +0)}$ a ${ displaystyle f (x_ {0} -0)}$ jsou konečné, budeme nazývat rozdíl ${ displaystyle f (x_ {0} +0) -f (x_ {0} -0)}$ the skok^[5] f na ${ displaystyle x_ {0}}$.

Pokud je funkce spojitá v ${ displaystyle x_ {0}}$ pak skok na ${ displaystyle x_ {0}}$ je nula. Navíc pokud ${ displaystyle f}$ není spojitý v ${ displaystyle x_ {0}}$, skok může být nulový v ${ displaystyle x_ {0}}$ -li ${ displaystyle f (x_ {0} +0) = f (x_ {0} -0) neq f (x_ {0})}$.

Přesné prohlášení

Nechat F být skutečnou hodnotou monotónní funkce definovaná na interval Já. Pak je soubor nespojitostí prvního druhu nanejvýš spočítatelné.

Dá se dokázat^[6][7] že všechny body diskontinuity monotónní reálné funkce definované na intervalu jsou skokové diskontinuity, a tedy podle naší definice prvního druhu. S touto poznámkou má Frodova věta silnější formu:

Nechat F být monotónní funkcí definovanou v intervalu ${ displaystyle I}$. Pak je sada nespojitostí maximálně spočitatelná.

Důkaz

Nechat ${ displaystyle I: = [a, b]}$ být interval a ${ displaystyle f}$, definováno dne ${ displaystyle I}$, an vzrůstající funkce. My máme

${ Displaystyle f (a) leq f (a + 0) leq f (x-0) leq f (x + 0) leq f (b-0) leq f (b)}$

pro všechny ${ displaystyle a$. Nechat ${ displaystyle alpha> 0}$ a nechte ${ displaystyle x_ {1}$ být ${ displaystyle n}$ body uvnitř ${ displaystyle I}$ při kterém skok z ${ displaystyle f}$ je větší nebo rovno ${ displaystyle alpha}$:

${ displaystyle f (x_ {i} +0) -f (x_ {i} -0) geq alpha, i = 1,2, ldots, n}$

My máme ${ displaystyle f (x_ {i} +0) leq f (x_ {i + 1} -0)}$ nebo ${ displaystyle f (x_ {i + 1} -0) -f (x_ {i} +0) geq 0, i = 1,2, ldots, n}$.Pak

${ displaystyle f (b) -f (a) geq f (x_ {n} +0) -f (x_ {1} -0) = součet _ {i = 1} ^ {n} [f (x_ {i} +0) -f (x_ {i} -0)] +}$

${ displaystyle + sum _ {i = 1} ^ {n-1} [f (x_ {i + 1} -0) -f (x_ {i} +0)] geq sum _ {i = 1 } ^ {n} [f (x_ {i} +0) -f (x_ {i} -0)] geq n alpha}$

a tedy: ${ displaystyle n leq { frac {f (b) -f (a)} { alpha}}}$.

Od té doby ${ displaystyle f (b) -f (a) < infty}$ máme, že počet bodů, ve kterých je skok větší než ${ displaystyle alpha}$ je konečný nebo nula.

Definujeme následující sady:

${ displaystyle S_ {1}: = {x: x v I, f (x + 0) -f (x-0) geq 1 }}$,

${ displaystyle S_ {n}: = {x: x v I, { frac {1} {n}} leq f (x + 0) -f (x-0) <{ frac {1} {n-1}} }, n geq 2.}$

Máme tu každou sadu ${ displaystyle S_ {n}}$ je konečný nebo prázdná sada. Unie${ displaystyle S = bigcup _ {n = 1} ^ { infty} S_ {n}}$ obsahuje všechny body, ve kterých je skok kladný, a proto obsahuje všechny body nespojitosti. Protože každý ${ displaystyle S_ {i}, i = 1,2, ldots}$ je nanejvýš spočítatelné, máme to ${ displaystyle S}$ je nanejvýš spočítatelné.

Li ${ displaystyle f}$ je klesající důkaz je podobný.

Pokud je interval ${ displaystyle I}$ není Zavřeno a ohraničený (a tedy tím Heine – Borelova věta ne kompaktní ) pak lze interval napsat jako spočetné sjednocení uzavřených a ohraničených intervalů ${ displaystyle I_ {n}}$ s vlastností, že jakékoli dva po sobě jdoucí intervaly mají koncový bod společné: ${ displaystyle I = cup _ {n = 1} ^ { infty} I_ {n}.}$

Li ${ displaystyle I = (a, b], a geq - infty}$ pak ${ displaystyle I_ {1} = [ alpha _ {1}, b], I_ {2} = [ alpha _ {2}, alpha _ {1}], ldots, I_ {n} = [ alpha _ {n}, alpha _ {n-1}], ldots}$ kde ${ displaystyle { alpha _ {n} } _ {n}}$ je přísně klesající sekvence takhle ${ displaystyle alpha _ {n} rightarrow a.}$ Podobným způsobem, pokud ${ displaystyle I = [a, b), b leq + infty}$ nebo když ${ displaystyle I = (a, b) - infty leq a$.

V jakémkoli intervalu ${ displaystyle I_ {n}}$ máme nanejvýš spočetné mnoho bodů diskontinuity, a protože spočetné sjednocení nanejvýš spočetných množin je nanejvýš spočetné, vyplývá z toho, že množina všech nespojitostí je nanejvýš spočetná.

Viz také

• Kontinuální funkce
• Klasifikace diskontinuit

Poznámky

Reference

• Bernard R. Gelbaum, John M. H. Olmsted, Protiklady v analýze, Holden – Day, Inc., 1964. (18. strana 28)
• John M. H. Olmsted, Skutečné proměnné„Appleton – Century – Crofts, Inc., New York (1956), (strana 59, příklad 29).