Freiheitssatz - Freiheitssatz

v matematika, Freiheitssatz (Němec: "věta o svobodě / nezávislosti": Freiheit + Satz ) je výsledkem teorie prezentace z skupiny, s uvedením, že určité podskupiny jedné relační skupiny jsou skupiny zdarma.

Tvrzení

Zvažte skupinovou prezentaci

{displaystyle G = langle x_ {1}, tečky, x_ {n} | r = 1 úhel}

dána $n$ generátory $X i$ a jeden cyklicky snížena spojka $r$ . Li $X 1$ se objeví v $r$ , pak (podle freiheitssatz) podskupina z $G$ generováno uživatelem $X 2, ..., X n$ je volná skupina, volně generované $X 2, ..., X n$ . Jinými slovy, jediný vztah zahrnuje $X 2, ..., X n$ jsou triviální.

Dějiny

Výsledek navrhl Němec matematik Max Dehn a prokázal jeho student, Wilhelm Magnus, ve své disertační práci.^[1] Ačkoli Dehn očekával, že Magnus najde a topologické důkaz,^[2] Magnus místo toho našel důkaz založený na matematická indukce^[3] a sloučené produkty skupin.^[4] Později poskytl různé důkazy založené na indukci Lyndon (1972) a Weinbaum (1972).^[3]^[5]^[6]

Význam

Freiheitssatz se stal „základním kamenem teorie skupin s jedním relatorem“ a motivoval k rozvoji teorie sloučené produkty. Poskytuje také analogii v nekomutativní teorii skupin s určitými výsledky vektorové prostory a další komutativní skupiny.^[4]

Reference

^ Magnus, Wilhelm (1930). „Über diskontinuierliche Gruppen mit einer definierenden Relation. (Der Freiheitssatz)“. J. Reine Angew. Matematika. 163: 141–165.
^ Stillwell, Johne (1999). „Max Dehn“. V James, I. M. (ed.). Historie topologie. Severní Holandsko, Amsterdam. 965–978. ISBN 0-444-82375-1. PAN 1674906. Viz zejména p. 973.
^ ^A ^b Lyndon, Roger C.; Schupp, Paul E. (2001). Teorie kombinatorické grupy. Klasika z matematiky. Springer-Verlag, Berlín. p. 152. ISBN 3-540-41158-5. PAN 1812024.
^ ^A ^b V.A. Roman'kov (2001) [1994], „Freiheitssatz“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
^ Lyndon, Roger C. (1972). „Na Freiheitssatz“. Journal of the London Mathematical Society. Druhá série. 5: 95–101. doi:10.1112 / jlms / s2-5.1.95. PAN 0294465.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
^ Weinbaum, C. M. (1972). Msgstr "Na relatorech a diagramech pro skupiny s jedním definujícím vztahem". Illinois Journal of Mathematics. 16: 308–322. PAN 0297849.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

[1] Magnus, Wilhelm (1930). „Über diskontinuierliche Gruppen mit einer definierenden Relation. (Der Freiheitssatz)“. J. Reine Angew. Matematika. 163: 141–165.

[2] Stillwell, Johne (1999). „Max Dehn“. V James, I. M. (ed.). Historie topologie. Severní Holandsko, Amsterdam. 965–978. ISBN 0-444-82375-1. PAN 1674906. Viz zejména p. 973.

[ls-3] A ^b Lyndon, Roger C.; Schupp, Paul E. (2001). Teorie kombinatorické grupy. Klasika z matematiky. Springer-Verlag, Berlín. p. 152. ISBN 3-540-41158-5. PAN 1812024.

[eom-4] A ^b V.A. Roman'kov (2001) [1994], „Freiheitssatz“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS

[5] Lyndon, Roger C. (1972). „Na Freiheitssatz“. Journal of the London Mathematical Society. Druhá série. 5: 95–101. doi:10.1112 / jlms / s2-5.1.95. PAN 0294465.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

[6] Weinbaum, C. M. (1972). Msgstr "Na relatorech a diagramech pro skupiny s jedním definujícím vztahem". Illinois Journal of Mathematics. 16: 308–322. PAN 0297849.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]