Franz – Keldyshův efekt - Franz–Keldysh effect

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Prosinec 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

The Franz – Keldyshův efekt je změna v optická absorpce podle a polovodič když elektrické pole je použito. Efekt je pojmenován po německém fyzikovi Walter Franz a ruský fyzik Leonid Keldysh (synovec Mstislav Keldysh ).

Karl W. Böer nejprve pozoroval posun optiky absorpční hrana s elektrickými poli ^[1] během objevování domén s vysokým polem^[2] a pojmenoval to Franzův efekt.^[3] O několik měsíců později, když byl k dispozici anglický překlad Keldyshova článku, to napravil na Franz-Keldyshův efekt.^[4]

Jak bylo původně koncipováno, Franz – Keldyshův efekt je výsledkem vlnové funkce „prosakuje“ do mezery v pásmu. Když je aplikováno elektrické pole, elektron a otvor vlnové funkce se stanou Vzdušné funkce spíše než rovinné vlny. Funkce Airy zahrnuje „ocas“, který zasahuje do klasicky zakázané mezery v pásmu. Podle Fermiho zlaté pravidlo Čím více se překrývá vlnová funkce volného elektronu s dírou, tím silnější bude optická absorpce. Vzdušné ocasy se mírně překrývají, i když elektron a díra mají mírně odlišný potenciál (mírně odlišné fyzické umístění podél pole). Absorpční spektrum nyní zahrnuje ocas při energiích pod mezerou pásma a některé oscilace nad ním. Toto vysvětlení však opomíná účinky excitony, které mohou dominovat optickým vlastnostem poblíž mezery pásma.

Franz-Keldyshův jev se na rozdíl od stejnoměrných objemových polovodičů vyskytuje kvantově omezený Starkův efekt, což vyžaduje kvantovou studnu. Oba se používají pro elektro-absorpční modulátory. Franz-Keldyshův efekt obvykle vyžaduje stovky volty, což omezuje jeho užitečnost u konvenční elektroniky - i když tomu tak není u komerčně dostupných elektroabsorpčních modulátorů s Franz-Keldyshovým efektem, které k vedení optického nosiče používají geometrii vlnovodu.

Vliv na modulační spektroskopii

The absorpční koeficient souvisí s dielektrická konstanta (zejména složitá část kappa₂). Z Maxwellovy rovnice můžeme snadno zjistit vztah,

${displaystyle alpha = {frac {2omega k_ {0}} {c}} = {{omega kappa _ {2}} nad {n_ {0} c}}.}$

n₀ a k₀ jsou skutečné a složité části indexu lomu materiálu. Uvažujeme přímý přechod elektronu z valenčního pásma do vodivé pásmo vyvolané dopadající světlo v dokonalý krystal a pokusit se vzít v úvahu změnu absorpčního koeficientu pro každý hamiltonián s pravděpodobnou interakcí, jako je elektron-foton, elektronová díra, vnější pole. Tento přístup vyplývá z.^[5] První účel jsme položili na teoretické pozadí Franz – Keldyshova jevu a spektroskopie modulace třetí derivace.

Jeden elektronový hamiltonián v elektromagnetickém poli

${displaystyle H = {1 nad 2 m} (mathbf {p} + emathbf {A}) ^ {2} + V (r)}$ (A: vektorový potenciál, PROTI(r): periodický potenciál)

${displaystyle A = {1 over 2} A_ {0} e [e ^ {i (k_ {p} cdot r-omega t)} + e ^ {- i (k_ {p} cdot r-omega t)}] }$(k_p a E jsou vlnový vektor em pole a jednotkový vektor.)

Zanedbání čtvercového termínu ${displaystyle A ^ {2}}$ a pomocí vztahu ${displaystyle Acdot p = pcdot A}$ uvnitř Coulombova rozchodu ${displaystyle abla cdot A = 0}$, získáváme

${displaystyle Hsim {p ^ {2} nad 2 m} + V (r) + {e nad m} Acdot p}$

Pak použijte Blokovací funkce ${displaystyle | jkangle = e ^ {ikcdot r} u_ {jk} (r)}$ (j = v, c to znamená valenční pásmo, vodivé pásmo)

pravděpodobnost přechodu lze získat tak, že

${displaystyle w_ {cv} = {2pi over hbar} | langle ck '| {e over m} Acdot p | vkangle | ^ {2} delta [mathrm {E} _ {c} (k') - mathrm {E} _ {v} (k) -hbar omega]}$${displaystyle = {pi e ^ {2} nad 2 hbar m ^ {2}} A_ {0} ^ {2} | langle ck '| exp (ik_ {p} cdot r) ecdot p | vkangle | ^ {2} delta [mathrm {E} _ {c} (k ') - mathrm {E} _ {v} (k) -hbar omega]}$(${displaystyle k_ {p}}$ prostředek vlnový vektor světla)${displaystyle ecdot p_ {cv} = {1 over V} int _ {v} e ^ {i (k_ {p} + k-k ') cdot r} {u ^ {*}} _ {ck'} (r ) ecdot (p + hbar k) u_ {vk} (r) d ^ {3} r}$

Ztrátový výkon elektromagnetické vlny za jednotku času a objem jednotky dává vzniknout následující rovnici

${displaystyle hbar omega w_ {cv} = {1 více než 2} omega kappa _ {2} epsilon _ {0} {E_ {0}} ^ {2}}$

Ze vztahu mezi elektrické pole a vektorový potenciál, ${displaystyle {E} = - {{částečné A} nad {částečné t}}}$, můžeme uvést ${displaystyle E_ {0} = omega A_ {0}}$

A konečně můžeme získat imaginární část dielektrické konstanty a jistě absorpční koeficient.${displaystyle kappa = {{pi e ^ {2}} nad {epsilon _ {0} m ^ {2} omega ^ {2}}} součet _ {k, k '} | ecdot p_ {cv} | ^ {2 } delta [mathrm {E} _ {c} (k ') - mathrm {E} _ {v} (k) -hbar omega] delta _ {kk'}}$

2-tělesný (elektronový otvor) Hamiltonian s EM polem

Elektron v valenční pásmo (vlnový vektor k) je buzen absorpcí fotonů do vodivého pásma (vlnový vektor v pásmu je ${displaystyle k '= k_ {e}}$) a ponechá díru ve valenčním pásmu (vlnový vektor díry je ${displaystyle k_ {h} = - k}$). V tomto případě zahrneme interakci elektron-díra. (${displaystyle V (r_ {e} -r_ {h})}$)

Přemýšlím o přímém přechodu, ${displaystyle | k_ {e} |, | k_ {h} |}$ je téměř stejný. Ale předpokládejme, že nepatrný rozdíl hybnosti způsobený absorpcí fotonu není ignorován a vázaný pár - pár elektron-díra je velmi slabý a efektivní hmotnost pro léčbu platí přibližná hodnota. Poté můžeme vytvořit následující postup, vlnovou funkci a vlnové vektory elektronu a díry

${displaystyle Psi _ {ij} (r_ {e}, r_ {h}) = psi _ {ik_ {e}} (r_ {e}) psi _ {jk_ {h}} (r_ {h})}$ (i, j jsou pásmové indexy, a r_E, r_h, k_E, k_h jsou souřadnice a vlnové vektory elektronu a díry)

A můžeme vzít totální vlnový vektor K. takhle

${displaystyle K = k_ {e} + k_ {h}.}$${displaystyle H = H_ {e} + H_ {h} + V (r_ {e} -r_ {h})}$

Potom lze pomocí fázového členu zkonstruovat Blochovy funkce elektronu a díry ${displaystyle A_ {cv} ^ {n, K}}$${displaystyle Psi ^ {n, K} (r_ {e}, r_ {h}) = součet _ {c, k_ {e}, v, k_ {h}} A_ {cv} ^ {n, K} (k_ {e}, k_ {h}) psi _ {ck_ {e}} (r_ {e}) psi _ {vk_ {h}} (r_ {h})}$

Pokud se V mění pomalu po celé délce integrálu, lze termín považovat za následující.

${displaystyle [mathrm {E} _ {c} (k_ {e}) + mathrm {E} _ {h} (k_ {h}) + V (r_ {e} -r_ {h}) - epsilon] A_ { c, V} ^ {n, K} (k_ {e}, k_ {h}) = 0 (*)}$

zde předpokládáme, že vodivostní a valenční pásma jsou parabolické se skalárními hmotami a že v horní části valenčního pásma ${displaystyle mathrm {E} _ {v} = 0}$, tj.${displaystyle mathrm {E} _ {c} (k_ {e}) = {{hbar ^ {2} k_ {e} ^ {2}} přes {2m_ {e}}} + mathrm {E} _ {G} , mathrm {E} _ {h} (k_ {h}) = {{hbar ^ {2} k_ {h} ^ {2}} nad {2m_ {h}}}}$ (${displaystyle mathrm {E} _ {G}}$ je energetická mezera)

Nyní Fourierova transformace z ${displaystyle A_ {cv} ^ {n, K} (k_ {e}, k_ {h})}$ a výše (*) lze rovnici efektivní hmotnosti pro exciton zapsat jako

${displaystyle [(- {hbar ^ {2} přes 2M} abla ^ {2}) + (- {hbar ^ {2} přes 2mu} abla ^ {2} - {e ^ {2} přes 4pi epsilon r}) ] Phi ^ {n, k} (r, R) = [mathrm {E} -mathrm {E} _ {G}] cdot Phi ^ {n, K} (r, R)}$

${displaystyle r = r_ {e} -r_ {h}, R = {{m_ {e} r_ {e} + m_ {h} r_ {h}} nad {m_ {e} + m_ {h}}}, {1 nad mu} = {1 nad m_ {e}} + {1 nad m_ {h}}, M = m_ {e} + m_ {h}}$

pak řešení eq je dáno vztahem

${displaystyle Psi ^ {n, K} (r, R) = Psi _ {K} (R) psi _ {n} (r)}$${displaystyle Psi ^ {n, K} (r, R) = {1 nad {sqrt {V}}} exp (iKcdot R) phi _ {n} (r)}$

${displaystyle phi _ {n} (r)}$ se nazývá obálková funkce excitonu. Základní stav excitonu je uveden analogicky k atom vodíku.

pak dielektrická funkce je

${displaystyle kappa _ {2} (omega) = {pi e ^ {2} nad {epsilon _ {0} m ^ {2} omega ^ {2}}} | ecdot p_ {cv} | ^ {2} součet _ {lambda} | phi _ {lambda} (0) | ^ {2} delta (mathrm {E} _ {G} + mathrm {E} _ {lambda} -hbar omega) (**)}$

podrobný výpočet je v.^[5]

Franz – Keldyshův jev znamená, že elektron ve valenčním pásmu může být excitován do vodivého pásma absorpcí fotonu s energií pod mezerou pásma. Nyní uvažujeme o efektivní hmotové rovnici pro relativní pohyb z elektronová díra pár, když je vnější pole aplikováno na krystal. Ale neměli bychom vzít do Hamiltonianu vzájemný potenciál páru elektron-díra.

Když je zanedbána Coulombova interakce, efektivní hmotnostní rovnice je

${displaystyle [- {hbar ^ {2} nad 2mu} abla ^ {2} -eEcdot r] psi (r) = epsilon psi (r)}$.

A rovnici lze vyjádřit,

${displaystyle [- {hbar ^ {2} nad 2mu} {d ^ {2} nad {dr_ {i} ^ {2}}} - eE_ {i} r_ {i} -epsilon _ {i}] psi (r_ {i}) = 0}$(kde ${displaystyle mu _ {i}}$ je hodnota ve směru hlavní osy redukovaného tenzoru efektivní hmotnosti)

Použití změny proměnných:

${displaystyle hbar heta _ {i} = ({{e ^ {2} E_ {i} ^ {2} hbar ^ {2}} nad {2mu _ {i}}}) ^ {1/3}, xi _ {i} = {{epsilon _ {i} + eE_ {i} r_ {i}} nad {hbar heta _ {i}}}}$

pak je řešení

${displaystyle psi (xi _ {x}, xi _ {y}, xi _ {z}) = C_ {x} C_ {y} C_ {z} Ai (-xi _ {x}) Ai (-xi _ { y}) Ai (-xi _ {z})}$

kde ${displaystyle C_ {i} = {{sqrt {e | E_ {i} |}} nad {hbar heta}}}$

Například, ${displaystyle E_ {y} = E_ {z} = 0, E_ {x}}$ řešení je dáno

${displaystyle psi (x, y, z) = Ccdot Ai ({{- eEx-epsilon + hbar ^ {2} k_ {y} ^ {2} / 2mu _ {y} + hbar ^ {2} k_ {z} ^ {2} / 2mu _ {z}} nad {hbar heta _ {x}}})}$

Dielektrickou konstantu lze získat vložením této rovnice do (**) (nad blokem) a změnou součtu vzhledem k λ na ${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} depsilon _ {x} depsilon _ {y} depsilon _ {z}}$

Integrál s ohledem na ${displaystyle depsilon _ {x} depsilon _ {y}}$ je dána kloubem hustota stavů pro pásmo 2-D. (Společná hustota stavů není nic jiného než význam DOS elektronu i díry současně.)

${displaystyle {kappa (omega, E)} = {{pi ^ {2}} nad {epsilon _ {0} m ^ {2} omega ^ {2}}} | ecdot p_ {c} v | ^ {2} {{e | E_ {x} |} přes {hbar heta _ {x} ^ {2}}} int _ {- infty} ^ {infty} {J ^ {2D}} _ {cv} (hbar omega -epsilon _ {G} -epsilon _ {x}) cdot | Ai (- {{epsilon _ {x}} přes {hbar heta}}) ^ {2} | depsilon _ {x}.}$

kde ${displaystyle J_ {cv} ^ {2D} (hbar omega) = {(mu _ {y} mu _ {z}) ^ {1/2} nad pi hbar ^ {2}}, hbar omega> epsilon _ {G }.}$

${displaystyle = 0, hbar omega$

Pak jsme dali ${displaystyle eta = {{hbar omega -epsilon _ {G}} nad {hbar heta _ {x}}}}$

A přemýšlejte o případu, který najdeme ${displaystyle eta << 0}$, tím pádem ${displaystyle hbar omega << epsilon _ {G}}$ s asymptotickým roztokem pro Vzdušná funkce v tomto limitu.

Konečně,${displaystyle kappa _ {2} (omega, E_ {x}) = {1/2} kappa _ {2} (omega) exp [{- 4 nad 3} ({{epsilon _ {G} -hbar omega} nad {hbar heta _ {x}}})]}$

Proto je dielektrická funkce pro dopadající foton energie pod mezerou pásma existuje! Tyto výsledky naznačují, že k absorpci dochází u dopadajícího fotonu.

Viz také

• Kvantově omezený Starkův efekt

Poznámky

Reference

• W. Franz, Einfluß eines elektrischen Feldes auf eine optische Absorptionskante, Z. Naturforschung 13a (1958) 484–489.
• L. V. Keldysh, Chování nekovových krystalů ve silných elektrických políchJ. Exptl. Teoretická. Phys. (SSSR) 33 (1957) 994–1003, překlad: Sovětská fyzika JETP 6 (1958) 763–770.
• L. V. Keldysh, Ionizace v oblasti silné elektromagnetické vlnyJ. Exptl. Teoretická. Phys. (SSSR) 47 (1964) 1945–1957, překlad: Sovětská fyzika JETP 20 (1965) 1307–1314.
• Williams, Richard (1960-03-15). "Absorpce světla indukovaná elektrickým polem v CdS". Fyzický přehled. Americká fyzická společnost (APS). 117 (6): 1487–1490. doi:10.1103 / fyzrev.117.1487. ISSN  0031-899X.
• J. I. Pankove, Optické procesy v polovodičích, Dover Publications Inc. New York (1971).
• H. Haug a S. W. Koch, „Kvantová teorie optických a elektronických vlastností polovodičů“, World Scientific (1994).
• C. Kittel, „Úvod do fyziky pevných látek“, Wiley (1996).