Limit Fraïssé - Fraïssé limit - Wikipedia
Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte zlepšit to nebo diskutovat o těchto otázkách na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)
|
v matematická logika, konkrétně v disciplíně teorie modelů, Limit Fraïssé (nazývané také Konstrukce Fraïssé nebo Fraïssé sloučení) je metoda používaná ke konstrukci (nekonečná) matematické struktury z jejich (konečných) spodní stavby. Jedná se o speciální příklad obecnějšího konceptu a přímý limit v kategorie.[1] Tato technika byla vyvinuta v padesátých letech minulého století jejím jmenovcem, francouzským logikem Roland Fraïssé.[2]
Hlavním bodem konstrukce Fraïssé je ukázat, jak lze přiblížit (počitatelný ) struktura svými konečně generovanými podstrukturami. Vzhledem k tomu, třída konečný relační struktury, pokud splňuje určité vlastnosti (popsané níže), pak existuje jedinečný počitatelný struktura , nazývaný Fraïssé limit z , který obsahuje všechny prvky tak jako spodní stavby.
Někdy se nazývá obecná studie limitů Fraïssé a souvisejících pojmů Fraissova teorie. Toto pole zaznamenalo široké uplatnění v jiných částech matematiky, včetně topologická dynamika, funkční analýza, a Ramseyova teorie.[3]
Konečně generované spodní konstrukce a věk
Opravit a Jazyk . Podle -struktura, myslíme a logická struktura mít podpis .
Vzhledem k -struktura s doména a podmnožina , používáme označit nejméně spodní konstrukce z jehož doména obsahuje (tj. uzavření pod všemi funkčními a konstantními symboly v ).
Spodní konstrukce z pak se říká, že je definitivně generováno -li pro některé konečný podmnožina .[4] The věk , označeno , je třída všech konečně generovaných podstruktur .
Dá se dokázat, že každá třída to znamená, že věk nějaké struktury splňuje následující dvě podmínky:
Dědičné vlastnictví (HP)
- Li a je konečně generovaná podstruktura , pak je isomorfní s nějakou strukturou v .
Vlastnost společného vkládání (JEP)
- Li , pak existuje takové, že oba a jsou zabudovatelné do .
Fraïsséova věta
Jak je uvedeno výše, poznamenali jsme, že pro všechny -struktura , uspokojuje HP a JEP. Fraïssé se ukázal jako výsledek, který se ukázal jako obrácený: kdy je libovolná neprázdná spočetná množina konečně vygenerovaných -struktury, které mají výše uvedené dvě vlastnosti, pak je to věk nějaké spočetné struktury.
Dále předpokládejme, že stane se tak, aby vyhovovaly následujícím dalším vlastnostem.
Sloučení majetku (AP)
- Pro jakékoli struktury , takže existují vložení , , existuje struktura a vložení , takhle (tj. shodují se s obrazem A v obou strukturách).
Základní počítání (EC)
- Až do izomorfismu je v něm nespočetně mnoho struktur .
V takovém případě říkáme, že K je a Třída Fraïssé, a existuje jedinečná (až izomorfismus), spočetná, homogenní struktura jehož věk je přesně .[5] Tato struktura se nazývá Limit Fraïssé z .
Tady, homogenní znamená, že jakýkoli izomorfismus mezi dvěma konečně generovanými substrukturami lze rozšířit na automorfismus celé struktury.
Příklady
Archetypálním příkladem je třída konečný lineární uspořádání, pro které je limit Fraïssé a hustý lineární pořadí bez koncových bodů (tj. č nejmenší ani největší prvek ). Až do izomorfismu je to vždy ekvivalentní struktuře , tj racionální čísla s obvyklým objednáním.
Jako příklad si všimněte, že ani jeden ani jsou limity Fraïssé ve výši . Je to proto, že i když jsou oba počítatelné a mají vzhledem k jejich věku není ani jeden homogenní. Chcete-li to vidět, zvažte substruktury a a izomorfismus mezi nimi. To nelze rozšířit na automorfismus ve výši nebo , protože neexistuje žádný prvek, na který bychom mohli mapovat , při zachování objednávky.
Dalším příkladem je třída konečný grafy, jejíž limit Fraïssé je Rado graf.[1]
ω-kategoričnost
Předpokládejme naši třídu posuzovaný splňuje další vlastnost bytí rovnoměrně lokálně konečný, což znamená, že pro každého , tam je uniforma vázaná na velikost -generovaná spodní konstrukce. Tato podmínka odpovídá limitu Fraïssé z bytost ω-kategorické.
Například třída konečný rozměr vektorové prostory přes pevnou pole je vždy třída Fraïssé, ale je rovnoměrně lokálně konečná, pouze pokud je pole konečné.
Viz také
Reference
- ^ A b „Café n-kategorie“. golem.ph.utexas.edu. Citováno 2020-01-08.
- ^ Hodges, Wilfrid. (1997). Kratší teorie modelů. Cambridge University Press. ISBN 0-521-58713-1. OCLC 468298248.
- ^ Lupini, Martino (listopad 2018). „Limity Fraïssé ve funkční analýze“ (PDF). Pokroky v matematice. 338: 93–174. doi:10.1016 / j.aim.2018.08.012. ISSN 0001-8708.
- ^ Schlicht, Philipp (7. ledna 2018). „Úvod do teorie modelů (poznámky k přednášce), Defn 2.2.1“ (PDF). Matematický institut univerzity v Bonnu.
- ^ Poznámky k nekonečným permutačním skupinám. Bhattacharjee, M. (Meenaxi), 1965–. Berlín: Springer. 1998. ISBN 3-540-64965-4. OCLC 39700621.CS1 maint: ostatní (odkaz)