Fox derivát - Fox derivative

v matematika, Fox derivát je algebraický konstrukce v teorii skupiny zdarma který má mnoho podobností s konvenčním derivát z počet. Fox derivát a související pojmy jsou často označovány jako Fox počet, nebo (Foxův původní výraz) volný diferenciální počet. Derivát Fox byl vyvinut v sérii pěti článků matematikem Ralph Fox, publikoval v Annals of Mathematics začátek v roce 1953.

Definice

Li G je bezplatná skupina s prvkem identity E a generátory G_i, pak derivát Fox s ohledem na G_i je funkce z G do integrální skupinový kruh ZG který je označen ${displaystyle {frac {částečné} {částečné g_ {i}}}}$ a řídí se následujícími axiomy:

${displaystyle {frac {částečné} {částečné g_ {i}}} (g_ {j}) = delta _ {ij}}$ , kde ${displaystyle delta _ {ij}}$ je Kroneckerova delta
${displaystyle {frac {částečné} {částečné g_ {i}}} (e) = 0}$
${displaystyle {frac {částečné} {částečné g_ {i}}} (uv) = {frac {částečné} {částečné g_ {i}}} (u) + u {frac {částečné} {částečné g_ {i}}} (proti)}$ pro všechny prvky u a proti z G.

První dva axiomy jsou identické s podobnými vlastnostmi parciální derivace počtu a třetí je upravená verze produktové pravidlo. V důsledku axiomů máme následující vzorec pro inverze

${displaystyle {frac {částečné} {částečné g_ {i}}} (u ^ {- 1}) = - u ^ {- 1} {frac {částečné} {částečné g_ {i}}} (u)}$ pro jakýkoli prvek u z G.

Aplikace

Derivát Fox má aplikace v skupinová kohomologie, teorie uzlů a pokrývající prostor teorie, mimo jiné oblasti matematiky.

Viz také

Reference

Brown, Kenneth S. (1972). Kohomologie skupin. Postgraduální texty z matematiky. 87. Springer Verlag. ISBN 0-387-90688-6. PAN 0672956.
Fox, Ralph (Květen 1953). "Free Differential Calculus, I: Derivation in the Free Group Ring". Annals of Mathematics. 57 (3): 547–560. doi:10.2307/1969736. JSTOR 1969736. PAN 0053938.
Fox, Ralph (březen 1954). „Free Differential Calculus, II: The Isomorphism Problem of Group“. Annals of Mathematics. 59 (2): 196–210. doi:10.2307/1969686. JSTOR 1969686. PAN 0062125.
Fox, Ralph (listopad 1956). "Free Differential Calculus, III: Subgroups". Annals of Mathematics. 64 (2): 407–419. doi:10.2307/1969592. JSTOR 1969592. PAN 0095876.
Chen, Kuo-Tsai; Ralph Fox; Roger Lyndon (Červenec 1958). „Free Differential Calculus, IV: The Quotient Groups of the Lower Central Series“. Annals of Mathematics. 68 (1): 81–95. doi:10.2307/1970044. JSTOR 1970044. PAN 0102539.
Fox, Ralph (květen 1960). „Free Differential Calculus, V: The Alexander Matrices Re-Examined“. Annals of Mathematics. 71 (3): 408–422. doi:10.2307/1969936. JSTOR 1969936. PAN 0111781.

Tento algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.