The Fokasova metoda, nebo jednotná transformace, je algoritmický postup pro analýzu problémů okrajových hodnot pro lineární parciální diferenciální rovnice a pro důležitou třídu nelineární PDE patří do takzvaných integrovatelných systémů. Je pojmenována po řeckém matematikovi Athanassios S. Fokas.
Problémy s lineární hraniční hodnotou se tradičně analyzují pomocí integrálních transformací a nekonečných řad nebo použitím vhodných základních řešení.
Pro , toto vyjádření nemůže být rovnoměrně konvergentní na , jinak by se dalo počítat vložením limitu uvnitř integrálu pravých Rovnice 3 a to by místo toho přineslo nulu .
2. Výše uvedená zobrazení jsou nevhodná pro numerické výpočty. Tato skutečnost je přímým důsledkem 1.
3. Existují tradiční integrální transformace a reprezentace nekonečných řad pouze pro velmi omezenou třídu problémů okrajových hodnot. Například neexistuje analoga sinusová transformace pro řešení následujícího jednoduchého problému:
(Rovnice 4)
doplněné o počáteční a okrajové podmínky Rovnice 2.
U vývojových PDE je metoda Fokas:
Vytváří reprezentace, které jsou vždy rovnoměrně konvergentní na hranicích.
Tyto reprezentace lze použít přímým způsobem, například pomocí MATLAB, pro numerické vyhodnocení řešení.
Vytváří reprezentace pro vývoj PDE s prostorovými derivacemi libovolného řádu.
Například řešení Laplace, upravené Helmholtz a Helmholtzovy rovnice uvnitř dvojrozměrné domény , lze vyjádřit jako integrály podél hranice . Tato vyjádření však zahrnují jak Dirichlet a Neumannova hranice hodnoty, tedy protože z daných dat je známa pouze jedna z těchto mezních hodnot, výše uvedená vyjádření nejsou účinná. Aby bylo možné získat efektivní zastoupení, je třeba charakterizovat zobecněné Dirichlet na mapu Neumann; například pro Dirichletův problém je třeba získat Neumannova hranice hodnota z hlediska dané Dirichlet datum.
Poskytuje elegantní formulaci zobecněný Dirichlet na Mapa Neumann odvozením algebraického vztahu zvaného globální vztah, který spojuje vhodné transformace všech hraničních hodnot.
U jednoduchých domén a různých okrajových podmínek lze globální vztah vyřešit analyticky. Navíc pro případ, že je libovolný konvexní polygon, lze globální vztah vyřešit numericky přímým způsobem, například pomocí MATLAB. Také pro tento případ je konvexní mnohoúhelník, Fokas metoda konstruuje integrální reprezentaci v Fourierův komplex letadlo. Použitím této reprezentace společně s globální relací je možné vypočítat řešení numericky uvnitř polygonu přímým semi-analytickým způsobem.
Tento krok je podobný prvnímu kroku použitému pro tradiční transformace. Rovnice Rovnice 7 zahrnuje t-transformace obou a , zatímco v případě sinusová transformace se neobjevuje v analogické rovnici (obdobně v případě kosinová transformace pouze objeví se). Na druhou stranu rovnice Rovnice 7 platí v komplexu dolní poloviny - letadlo, kde jsou analogické rovnice pro sinus a kosinové transformace jsou platné pouze pro nemovitý. The Fokas metoda je založena na skutečnosti, že rovnice Rovnice 7 má velkou doménu platnosti.
2. Pomocí inverzní Fourierova transformace, globální vztah poskytuje integrální reprezentaci na reálné linii. Deformací skutečné osy na konturu v horní polovině -komplexní rovina, je možné přepsat tento výraz jako integrál podél obrysu , kde je hranice domény , který je součástí v horní polovině komplexu letadlo, s definován
V tomto případě, , kde . Tím pádem, naznačuje , tj., a . Skutečnost, že skutečná osa může být deformována je důsledkem skutečnosti, že relevantní integrál je analytická funkce z který se rozpadá tak jako .[1]
3. Použitím globálního vztahu a využitím transformací v komplexu letadlo, které odlétá invariantní, je možné vyloučit z integrálního vyjádření transformace neznámých hraničních hodnot. Pro rovnici Rovnice 5, , tedy příslušná transformace je . Pomocí této transformace, rovnice Rovnice 7 se stává
Pokud je důležité si uvědomit, že neznámý termín nepřispívá k řešení . Příslušný integrál ve skutečnosti zahrnuje tento pojem , který je analytický a rozpadá se jako v , tím pádem Jordanovo lemma to naznačuje přináší nulový příspěvek. Rovnice Rovnice 11 lze přepsat ve formě, která je v souladu s Ehrenpreis základní princip: je-li okrajová podmínka zadána pro , kde je daná kladná konstanta, poté použití Cauchyho integrální věta, z toho vyplývá, že Rovnice 11 je ekvivalentní následující rovnici:
(Rovnice 12)
kde
Jednotná konvergence Sjednocené transformační konstrukce představují reprezentace, které jsou vždy rovnoměrně konvergentní na hranicích. Například hodnocení Rovnice 12 na , a pak nechat v prvním členu druhého integrálu v rhs Rovnice 12, z toho vyplývá, že
Změna proměnných , , to naznačuje .
Numerické hodnoceníŘešení je jednoduché vypočítat numericky pomocí kvadratury po deformaci kontury k zajištění exponenciálního rozpadu integrandu.[2] Pro zjednodušení se soustředíme na případ, že relevantní transformace lze vypočítat analyticky. Například,
Pro na , termín rozpadá se exponenciálně jako . Také deformací na kde je obrys mezi skutečnou osou a , z toho vyplývá, že pro na termín také se exponenciálně rozpadá jako . Tedy rovnice Rovnice 13 se stává
a rhs výše uvedené rovnice lze vypočítat pomocí MATLAB.
Podrobnosti o efektivní numerické kvadratuře pomocí jednotné transformace odkazujeme na čtenáře,[2] který řeší rovnici advekce-disperze na půl čáře. Tam bylo zjištěno, že řešení je vhodné pro kvadraturu (Gauss-Laguerreova kvadratura pro exponenciální rozpad integrantu nebo Gauss-Hermiteova kvadratura pro čtvercový exponenciální rozpad integrantu) s exponenciální konvergencí.
Evoluční rovnice s prostorovými derivacemi libovolného řádu. Předpokládejme to je řešením daného PDE. Pak, je hranice domény definováno dříve.
Pokud daný PDE obsahuje prostorové derivace řádu , pak pro dokonce i globální vztah zahrnuje neznámé, zatímco pro zvláštní to zahrnuje nebo neznámé (v závislosti na koeficientu nejvyšší derivace). Použití vhodného počtu transformací v komplexu - letadlo, které odchází invariant, je možné získat potřebný počet rovnic, aby bylo možné získat transformace neznámých hraničních hodnot z hlediska a daných hraničních dat z hlediska řešení systému algebraické rovnice.
Numerická metoda kolokace
Metoda Fokas dává vzniknout nové metodě spektrálního kolokace vyskytující se ve Fourierově prostoru. Nedávná práce rozšířila metodu a prokázala řadu jejích výhod; vyhýbá se výpočtu singulárních integrálů, s nimiž se setkáváme v tradičnějších přístupech založených na hranicích, je rychlé a snadné kódování, lze jej použít pro oddělitelné PDE, kde není analyticky známá žádná Greenova funkce a lze ji exponenciálně konvergovat se správnou volbou základních funkcí.
Základní metoda v konvexním ohraničeném mnohoúhelníku
Předpokládejme to a oba uspokojují Laplaceovu rovnici uvnitř konvexně ohraničeného polygonu . Z toho vyplývá, že
Potom Greenova věta naznačuje vztah
(Rovnice 14)
Abychom vyjádřili integrand výše uvedené rovnice pouze z Dirichletovy a Neumannovy hraniční hodnoty, parametrizujeme a pokud jde o délku oblouku, , z . Tohle vede k
(Rovnice 15)
kde označuje normální derivaci.
Za účelem dalšího zjednodušení globálního vztahu zavedeme komplexní proměnnou a jeho konjugát . Poté zvolíme testovací funkci , což vede ke globálnímu vztahu pro Laplaceovu rovnici:
(Rovnice 16)
Podobný argument lze také použít v případě nutného výrazu (dávajícího nenulovou pravou stranu). Stejný argument funguje pro Helmholtzovu rovnici
a upravená Helmholtzova rovnice
Výběr příslušných testovacích funkcí a vést k příslušným globálním vztahům
a
Tyto tři případy se zabývají obecnějšími eliptickými konstantními koeficienty PDE druhého řádu prostřednictvím vhodné lineární změny proměnných.
Mapa Dirichlet k Neumannovi pro konvexní mnohoúhelníkPředpokládejme to je vnitřkem ohraničeného konvexní mnohoúhelník určeno rohy . V tomto případě globální vztah Rovnice 16 má formu
(Rovnice 17)
kde
(Rovnice 18)
nebo
(Rovnice 19)
Strana , což je strana mezi a , lze parametrizovat pomocí
Globální vztah zahrnuje neznámé konstanty (pro Dirichletův problém tyto konstanty jsou ). Vyhodnocením globálního vztahu při dostatečně velkém počtu různých hodnot , neznámé konstanty lze získat řešením systému algebraických rovnic.
Je vhodné zvolit výše uvedené hodnoty na paprsky Pro tuto volbu, as , příslušný systém je úhlopříčně dominantní, takže jeho stavové číslo je velmi malé.[3]
Řešení nekonvexnosti
Zatímco globální vztah je platný pro nekonvexní domény , výše uvedená metoda umístění se stane numericky nestabilní.[4] Heuristické vysvětlení tohoto špatného podmínění v případě Laplaceovy rovnice je následující. `Zkušební funkce ' růst / rozpad exponenciálně v určitých směrech . Při použití dostatečně velkého výběru komplexu -hodnoty, umístěné ve všech směrech od počátku, každá strana konvexního mnohoúhelníku bude pro mnoho z nich -hodnoty se setkávají s většími testovacími funkcemi než zbývající strany. Jedná se o přesně stejný argument, který motivuje výběr paprsků kolokačních bodů daných , které poskytují diagonálně dominantní systém. Naproti tomu u nekonvexního mnohoúhelníku budou v okrajových oblastech v odsazených oblastech vždy dominovat efekty z jiných hraničních částí, bez ohledu na -hodnota. To lze snadno překonat rozdělením domény do mnoha konvexních oblastí (zavedení fiktivních hranic) a porovnáním řešení a normální derivace přes tyto vnitřní hranice. Takové rozdělení také umožňuje rozšíření metody na vnější / neomezené domény (viz. níže).
Hodnocení v interiéru domény
Nechat být přidruženým základním řešením PDE, které splňuje . V případě přímých hran vede Greenova věta o reprezentaci
(Rovnice 23)
Kvůli ortogonalitě Legendrových polynomů pro danou , integrály ve výše uvedené reprezentaci jsou Legendrovy expanzní koeficienty určitých analytických funkcí (psané jako ). Proto lze integrály rychle vypočítat (všechny najednou) rozšířením funkcí na základě Čebyševova základu (pomocí FFT) a následným převodem na základnu Legendre.[5] To lze také použít k aproximaci `hladké 'části řešení po přidání globálních singulárních funkcí, které se postarají o rohové singularity.
Rozšíření na zakřivené hranice a oddělitelné PDE
Metodu lze rozšířit na proměnné koeficienty PDE a zakřivené hranice následujícím způsobem (viz [6]). Předpokládejme to je maticová funkce, funkce s vektorovou hodnotou a funkce (vše dostatečně hladká) definovaná nad . Zvažte formální PDE v divergenční formě:
(Rovnice 24)
Předpokládejme, že doména je ohraničená propojená Lipschitzova doména, jejíž hranice se skládá z konečného počtu vrcholů spojených oblouky. Označte rohy v pořadí proti směru hodinových ručiček jako se stranou , připojující se na . lze parametrizovat pomocí
Integrací napříč doménou a použitím věty o divergenci obnovíme globální vztah ( označuje vnější normál):
(Rovnice 27)
Definovat podél křivky a předpokládejme to . Předpokládejme, že máme jednoparametrovou rodinu řešení adjointové rovnice, , pro některé , kde označuje kolokační sadu. Označení řešení vedle podle , jednotka směrem ven normální o a analogicky šikmý derivát pomocí , definujeme následující důležitou transformaci:
Pro oddělitelné PDE je vhodná jednoparametrická rodina řešení lze postavit. Pokud každý rozbalíme a jeho derivát podél hranice v Legendrových polynomech pokryjeme podobný přibližný globální vztah jako dříve. Pro výpočet integrálů, které tvoří přibližný globální vztah, můžeme použít stejný trik jako dříve - rozšíření funkce integrované proti Legendrovým polynomům v Čebyševově řadě a následný převod na Legendrovu řadu. Hlavní výhodou metody v tomto scénáři je, že se jedná o hraniční metodu, která nepotřebuje žádné znalosti o odpovídající Greenově funkci. Proto je při stanovení variabilních koeficientů použitelnější než hraniční integrální metody.
Singulární funkce a problémy s externím rozptylem
Hlavní výhodou výše uvedené metody kolokace je, že výběr základu (Legendreovy polynomy ve výše uvedené diskusi) lze flexibilně zvolit tak, aby zachytil místní vlastnosti řešení podél každé hranice. To je užitečné, když má řešení různá měřítka v různých oblastech , ale je zvláště užitečný pro zachycení jedinečného chování, například v blízkosti ostrých rohů .
Považujeme problém akustického rozptylu za vyřešený v [7] metodou. Řešení splňuje Helmholtzovu rovnici v s frekvencí , spolu s Sommerfeldovým radiačním stavem v nekonečnu:
(Rovnice 30)
kde . Okrajová podmínka podél desky je
(Rovnice 31)
pro pole incidentu
(Rovnice 32)
Zvažováním domén a samostatně a odpovídající globálním vztahům se stane globální vztah pro tento problém
(Rovnice 33)
s a kde označuje skok dovnitř přes talíř. Složité kolokační body jsou povoleny právě kvůli radiační podmínce. Abychom zachytili singularity koncového bodu, rozšíříme se pro z hlediska vážených Čebyševových polynomů druhého druhu:
(Rovnice 34)
Mají následující Fourierovu transformaci:
(Rovnice 35)
kde označuje Besselovu funkci prvního druhu řádu . Pro derivát podél , vhodnou základovou volbou jsou Besselovy funkce zlomkového řádu (k zachycení singularity a algebraického rozpadu v nekonečnu).
Představujeme bezrozměrnou frekvenci , kde je délka desky. Obrázek níže ukazuje konvergenci metody pro různé . Tady je počet základních funkcí slouží k aproximaci skoku přes talíř. Maximální relativní absolutní chyba je maximální chyba vypočítaného řešení dělená maximální absolutní hodnotou řešení. Obrázek je pro a ukazuje kvadraticko-exponenciální konvergenci metody, jmenovitě chyba klesá podobně pro některé pozitivní . Složitější geometrie (včetně různých úhlů dotýkajících se hranic a nekonečných klínů) lze také řešit podobným způsobem, stejně jako složitější okrajové podmínky, jako jsou modely modelování elasticity.[8][9]
^Colbrook, Matthew J .; Fokas, Thanasis S .; Hashemzadeh, Parham (9. dubna 2019). „Hybridní analyticko-numerická technika pro eliptické PDE“. SIAM Journal on Scientific Computing. 41 (2): A1066 – A1090. doi:10.1137 / 18M1217309.
^Colbrook, Matthew J. (27. listopadu 2018). "Rozšíření sjednocené transformace: křivočaré polygony a proměnné koeficienty PDE". IMA Journal of Numerical Analysis. 40 (2): 976–1004. doi:10.1093 / imanum / dry085.
^Colbrook, Matthew J .; Ayton, Lorna J. (2019). "Metoda spektrálního kolokace pro akustický rozptyl několika elastickými deskami". Journal of Sound and Vibration. 461: 114904. doi:10.1016 / j.jsv.2019.114904.
^Ayton, Lorna J .; Colbrook, Matthew; Fokas, Athanassios (2019). „Unified Transform: A Spectral Collocation Method for Acoustic Scattering“. 25. konference aeroakustiky AIAA / CEAS. Americký institut pro letectví a astronautiku. doi:10.2514/6.2019-2528. ISBN978-1-62410-588-3.