Plamenné řešení - Flamant solution

Pružný klín zatížený dvěma silami na špičce

The Plamenné řešení poskytuje výrazy pro zdůrazňuje a posunutí v lineární elastický klín naloženo bodovými silami na jeho ostrém konci. Toto řešení vyvinul A. Flamant ^[1] v roce 1892 úpravou trojrozměrného řešení Boussinesq.

Napětí předpovězená řešením Flamant jsou (v polární souřadnice )

{displaystyle {egin {aligned} sigma _ {rr} & = {frac {2C_ {1} cos heta} {r}} + {frac {2C_ {3} sin heta} {r}} sigma _ {r heta} & = 0 sigma _ {heta heta} & = 0end {zarovnáno}}}

kde ${displaystyle C_ {1}, C_ {3}}$ jsou konstanty, které jsou určeny z okrajových podmínek a geometrie klínu (tj. z úhlů ${displaystyle alfa, eta}$ ) a uspokojit

{displaystyle {egin {aligned} F_ {1} & + 2int _ {alpha} ^ {eta} (C_ {1} cos heta + C_ {3} sin heta), cos heta, d heta = 0 F_ {2} & + 2int _ {alpha} ^ {eta} (C_ {1} cos heta + C_ {3} sin heta), sin heta, d heta = 0end {zarovnáno}}}

kde ${displaystyle F_ {1}, F_ {2}}$ jsou použité síly.

Klínový problém je podobný a nemá žádnou vlastní délkovou stupnici. Všechna množství lze také vyjádřit ve formě oddělené proměnné ${displaystyle sigma = f (r) g (heta)}$ . Stresy se mění jako ${displaystyle (1 / r)}$ .

Síly působící na polorovině

Pružná polorovina zatížená dvěma bodovými silami.

Pro zvláštní případ, kdy ${displaystyle alpha = -pi}$ , ${displaystyle eta = 0}$ , klín se převede na polorovinu normální silou a tangenciální silou. V tom případě

{displaystyle C_ {1} = - {frac {F_ {1}} {pi}}, quad C_ {3} = - {frac {F_ {2}} {pi}}}

Proto jsou napětí

{displaystyle {egin {aligned} sigma _ {rr} & = - {frac {2} {pi, r}} (F_ {1} cos heta + F_ {2} sin heta) sigma _ {r heta} & = 0 sigma _ {heta heta} & = 0end {zarovnáno}}}

a posunutí jsou (pomocí Michellovo řešení )

{displaystyle {egin {aligned} u_ {r} & = - {cfrac {1} {4pi mu}} left [F_ {1} {(kappa -1) heta sin heta -cos heta + (kappa +1) ln rcos heta} + ight. & qquad qquad left.F_ {2} {(kappa -1) heta cos heta + sin heta - (kappa +1) ln rsin heta} ight] u_ {heta} & = - {cfrac {1 } {4pi mu}} vlevo [F_ {1} {(kappa -1) heta cos heta -sin heta - (kappa +1) ln rsin heta} -ight. & Qquad qquad left.F_ {2} {(kappa - 1) heta sin heta + cos heta + (kappa +1) ln rcos heta} ight] end {zarovnáno}}}

The ${displaystyle ln r}$ závislost posunů znamená, že posun roste tím, jak se další pohybuje od bodu působení síly (a je neomezený v nekonečnu). Tato vlastnost řešení Flamant je matoucí a zdá se nefyzická. Diskuse k této problematice viz http://imechanica.org/node/319.

Posunutí na povrchu poloroviny

Posunutí v ${displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$ směry na povrchu poloroviny jsou dány vztahem

{displaystyle {egin {aligned} u_ {1} & = {frac {F_ {1} (kappa +1) ln | x_ {1} |} {4pi mu}} + {frac {F_ {2} (kappa +1 ) {ext {sign}} (x_ {1})} {8mu}} u_ {2} & = {frac {F_ {2} (kappa +1) ln | x_ {1} |} {4pi mu}} + {frac {F_ {1} (kappa +1) {ext {sign}} (x_ {1})} {8mu}} konec {zarovnáno}}}

kde

{displaystyle kappa = {egin {cases} 3-4u & qquad {ext {plane stress}} {cfrac {3-u} {1 + u}} & qquad {ext {plane stress}} end {cases}}}

${displaystyle u}$ je Poissonův poměr, ${displaystyle mu}$ je tažný modul, a

{displaystyle {ext {sign}} (x) = {egin {cases} + 1 & x> 0 -1 & x <0end {cases}}}

Odvození řešení Flamant

Pokud předpokládáme, že napětí se bude měnit jako ${displaystyle (1 / r)}$ , můžeme vybrat výrazy obsahující ${displaystyle 1 / r}$ ve stresech z Michellovo řešení. Pak Funkce vzdušného stresu lze vyjádřit jako

{displaystyle varphi = C_ {1} r heta sin heta + C_ {2} rln rcos heta + C_ {3} r heta cos heta + C_ {4} rln rsin heta}

Proto z tabulek v Michellovo řešení, my máme

{displaystyle {egin {aligned} sigma _ {rr} & = C_ {1} vlevo ({frac {2cos heta} {r}} vpravo) + C_ {2} vlevo ({frac {cos heta} {r}} vpravo ) + C_ {3} vlevo ({frac {2sin heta} {r}} ight) + C_ {4} vlevo ({frac {sin heta} {r}} ight) sigma _ {r heta} & = C_ { 2} vlevo ({frac {sin heta} {r}} ight) + C_ {4} vlevo ({frac {-cos heta} {r}} ight) sigma _ {heta heta} & = C_ {2} vlevo ({frac {cos heta} {r}} ight) + C_ {4} vlevo ({frac {sin heta} {r}} ight) konec {zarovnáno}}}

Konstanty ${displaystyle C_ {1}, C_ {2}, C_ {3}, C_ {4}}$ pak lze v zásadě určit z geometrie klínu a použít okrajové podmínky.

Je však obtížné vyjádřit koncentrované zatížení na vrcholu trakce okrajové podmínky protože

jednotka vnější normály na vrcholu není definována
síly jsou aplikovány v bodě (který má nulovou plochu), a proto je trakce v tomto bodě nekonečná.

Ohraničený elastický klín pro rovnováhu sil a momentů.

Chcete-li tento problém obejít, vezmeme v úvahu ohraničenou oblast klínu a zvážíme rovnováhu ohraničeného klínu.^[2]^[3] Nechte ohraničený klín mít dva trakční volné povrchy a třetí povrch ve formě oblouku kruhu s poloměrem ${displaystyle a,}$ . Podél oblouku kruhu je jednotka vně normální ${displaystyle mathbf {n} = mathbf {e} _ {r}}$ kde jsou základní vektory ${displaystyle (mathbf {e} _ {r}, mathbf {e} _ {heta})}$ . Trakce na oblouku jsou

{displaystyle mathbf {t} = {oldsymbol {sigma}} cdot mathbf {n} quad implikuje t_ {r} = sigma _ {rr}, ~ t_ {heta} = sigma _ {r heta} ~.}

Dále prozkoumáme silovou a momentovou rovnováhu v ohraničeném klínu a dostaneme

{displaystyle {egin {aligned} sum f_ {1} & = F_ {1} + int _ {alpha} ^ {eta} left [sigma _ {rr} (a, heta) ~ cos heta -sigma _ {r heta} (a, heta) ~ sin heta ight] ~ a ~ d heta = 0 sum f_ {2} & = F_ {2} + int _ {alpha} ^ {eta} left [sigma _ {rr} (a, heta ) ~ sin heta + sigma _ {r heta} (a, heta) ~ cos heta ight] ~ a ~ d heta = 0 sum m_ {3} & = int _ {alpha} ^ {eta} vlevo [a ~ sigma _ {r heta} (a, heta) ight] ~ a ~ d heta = 0end {zarovnáno}}}

Požadujeme, aby tyto rovnice byly splněny pro všechny hodnoty ${displaystyle a,}$ a tím uspokojit okrajové podmínky.

Bez trakce okrajové podmínky na okrajích ${displaystyle heta = alpha}$ a ${displaystyle heta = eta}$ také to naznačují

{displaystyle sigma _ {r heta} = sigma _ {heta heta} = 0qquad {ext {at}} ~~ heta = alfa, heta = eta}

kromě bodu ${displaystyle r = 0}$ .

Pokud to předpokládáme ${displaystyle sigma _ {r heta} = 0}$ všude jsou pak podmínky bez trakce a rovnice momentové rovnováhy splněny a nám zbývá

{displaystyle {egin {aligned} F_ {1} & + int _ {alpha} ^ {eta} sigma _ {rr} (a, heta) ~ a ~ cos heta ~ d heta = 0 F_ {2} & + int _ {alpha} ^ {eta} sigma _ {rr} (a, heta) ~ a ~ sin heta ~ d heta = 0end {zarovnáno}}}

a ${displaystyle sigma _ {heta heta} = 0}$ podél ${displaystyle heta = alfa, heta = eta}$ kromě bodu ${displaystyle r = 0}$ . Ale pole ${displaystyle sigma _ {heta heta} = 0}$ všude také splňuje silové rovnovážné rovnice. Proto to musí být řešení. Také předpoklad ${displaystyle sigma _ {r heta} = 0}$ to naznačuje ${displaystyle C_ {2} = C_ {4} = 0}$ .

Proto,

{displaystyle sigma _ {rr} = {frac {2C_ {1} cos heta} {r}} + {frac {2C_ {3} sin heta} {r}} ~; ~~ sigma _ {r heta} = 0 ~ ; ~~ sigma _ {heta heta} = 0}

Najít konkrétní řešení pro ${displaystyle sigma _ {rr}}$ musíme připojit výraz pro ${displaystyle sigma _ {rr}}$ do silových rovnovážných rovnic získat soustavu dvou rovnic, pro které je třeba vyřešit ${displaystyle C_ {1}, C_ {3}}$ :

{displaystyle {egin {aligned} F_ {1} & + 2int _ {alpha} ^ {eta} (C_ {1} cos heta + C_ {3} sin heta) ~ cos heta ~ d heta = 0 F_ {2} & + 2int _ {alpha} ^ {eta} (C_ {1} cos heta + C_ {3} sin heta) ~ sin heta ~ d heta = 0end {zarovnáno}}}

Síly působící na polorovině

Pokud vezmeme ${displaystyle alpha = -pi}$ a ${displaystyle eta = 0}$ , problém se převede na ten, kde je normální síla ${displaystyle F_ {2}}$ a tangenciální síla ${displaystyle F_ {1}}$ jednat v polorovině. V takovém případě mají rovnice silové rovnováhy tvar

{displaystyle {egin {aligned} F_ {1} & + 2int _ {- pi} ^ {0} (C_ {1} cos heta + C_ {3} sin heta) ~ cos heta ~ d heta = 0qquad implikuje F_ {1 } + C_ {1} pi = 0 F_ {2} & + 2int _ {- pi} ^ {0} (C_ {1} cos heta + C_ {3} sin heta) ~ sin heta ~ d heta = 0qquad implikuje F_ {2} + C_ {3} pi = 0end {zarovnáno}}}

Proto

{displaystyle C_ {1} = - {cfrac {F_ {1}} {pi}} ~; ~~ C_ {3} = - {cfrac {F_ {2}} {pi}} ~.}

Důraz na tuto situaci je

{displaystyle sigma _ {rr} = - {frac {2} {pi r}} (F_ {1} cos heta + F_ {2} sin heta) ~; ~~ sigma _ {r heta} = 0 ~; ~~ sigma _ {heta heta} = 0}

Pomocí tabulek posunutí z Michell řešení, jsou posuny pro tento případ dány vztahem

{displaystyle {egin {aligned} u_ {r} & = - {cfrac {1} {4pi mu}} left [F_ {1} {(kappa -1) heta sin heta -cos heta + (kappa +1) ln rcos heta} + ight. & qquad qquad left.F_ {2} {(kappa -1) heta cos heta + sin heta - (kappa +1) ln rsin heta} ight] u_ {heta} & = - {cfrac {1 } {4pi mu}} vlevo [F_ {1} {(kappa -1) heta cos heta -sin heta - (kappa +1) ln rsin heta} -ight. & Qquad qquad left.F_ {2} {(kappa - 1) heta sin heta + cos heta + (kappa +1) ln rcos heta} ight] end {zarovnáno}}}

Posunutí na povrchu poloroviny

Abychom našli výrazy pro posuny na povrchu poloviční roviny, najdeme nejprve posuny pro kladné ${displaystyle x_ {1}}$ ( ${displaystyle heta = 0}$ ) a negativní ${displaystyle x_ {1}}$ ( ${displaystyle heta = pi}$ ) mějte na paměti, že ${displaystyle r = | x_ {1} |}$ podél těchto míst.

Pro ${displaystyle heta = 0}$ my máme

{displaystyle {egin {aligned} u_ {r} = u_ {1} & = {cfrac {F_ {1}} {4pi mu}} left [1- (kappa +1) ln | x_ {1} | ight] u_ {heta} = u_ {2} & = {cfrac {F_ {2}} {4pi mu}} vlevo [1+ (kappa +1) ln | x_ {1} | ight] konec {zarovnáno}}}

Pro ${displaystyle heta = pi}$ my máme

{displaystyle {egin {aligned} u_ {r} = - u_ {1} & = - {cfrac {F_ {1}} {4pi mu}} vlevo [1- (kappa +1) ln | x_ {1} | vpravo ] + {cfrac {F_ {2}} {4mu}} (kappa -1) u_ {heta} = - u_ {2} & = {cfrac {F_ {1}} {4mu}} (kappa -1) - {cfrac {F_ {2}} {4pi mu}} vlevo [1+ (kappa +1) ln | x_ {1} | ight] konec {zarovnáno}}}

Posunutí můžeme provést symetricky kolem bodu působení síly přidáním posunů tuhého tělesa (což nemá vliv na napětí)

{displaystyle u_ {1} = {cfrac {F_ {2}} {8mu}} (kappa -1) ~; ~~ u_ {2} = {cfrac {F_ {1}} {8mu}} (kappa -1) }

a odstranění nadbytečných tuhých posunutí těla

{displaystyle u_ {1} = {cfrac {F_ {1}} {4pi mu}} ~; ~~ u_ {2} = {cfrac {F_ {2}} {4pi mu}} ~.}

Potom lze posunutí na povrchu kombinovat a získat podobu

{displaystyle {egin {aligned} u_ {1} & = {cfrac {F_ {1}} {4pi mu}} (kappa +1) ln | x_ {1} | + {cfrac {F_ {2}} {8mu} } (kappa -1) {ext {sign}} (x_ {1}) u_ {2} & = {cfrac {F_ {2}} {4pi mu}} (kappa +1) ln | x_ {1} | + {cfrac {F_ {1}} {8mu}} (kappa -1) {ext {sign}} (x_ {1}) konec {zarovnáno}}}

kde

{displaystyle {ext {sign}} (x) = {egin {cases} + 1 & x> 0 -1 & x <0end {cases}}}

Reference

^ A. Flamant. (1892). Sur la répartition des pressions dans un solide rectangulaire chargé transversalement. Compte. Rendu. Acad. Sci. Paris, sv. 114, s. 1465.
^ Slaughter, W. S. (2002). Linearizovaná teorie pružnosti. Birkhauser, Boston, str. 294.
^ J. R. Barber, 2002, Elasticity: 2. vydání, Kluwer Academic Publishers.

Viz také

[1] A. Flamant. (1892). Sur la répartition des pressions dans un solide rectangulaire chargé transversalement. Compte. Rendu. Acad. Sci. Paris, sv. 114, s. 1465.

[2] Slaughter, W. S. (2002). Linearizovaná teorie pružnosti. Birkhauser, Boston, str. 294.

[3] J. R. Barber, 2002, Elasticity: 2. vydání, Kluwer Academic Publishers.

[1]

[2]

[3]