Fermaty a principy variace energie v teorii pole - Fermats and energy variation principles in field theory - Wikipedia

v obecná relativita, předpokládá se, že světlo se šíří v a vakuum podél a nulová geodetika v pseudo-Riemannovo potrubí. Kromě principu geodetiky v a klasická teorie pole tady existuje Fermatův princip pro stacionární gravitační pole.^[1]

Fermatův princip

V případě konformně stacionární časoprostor ^[2] s souřadnice ${ displaystyle (t, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3})}$ Fermat metrický má formu

${ displaystyle g = e ^ {2f (t, x)} [(dt + phi _ { alpha} (x) dx ^ { alpha}) ^ {2} - { hat {g}} _ { alfa beta} dx ^ { alpha} dx ^ { beta}]}$,

kde konformní faktor ${ displaystyle f (t, x)}$ záleží na čase ${ displaystyle t}$ a prostor souřadnice ${ displaystyle x ^ { alpha}}$ a neovlivňuje lehký geodetika kromě jejich parametrizace.

Fermatův princip pro pseudo-Riemannovo potrubí uvádí, že cesta světelného paprsku mezi body ${ displaystyle x_ {a} = (x_ {a} ^ {1}, x_ {a} ^ {2}, x_ {a} ^ {3})}$ a ${ displaystyle x_ {b} = (x_ {b} ^ {1}, x_ {b} ^ {2}, x_ {b} ^ {3})}$ odpovídá stacionárnímu akce.

${ displaystyle S = int _ { mu _ {b}} ^ { mu _ {a}} left ({ sqrt {{ hat {g}} _ { alpha beta} { frac { dx ^ { alpha}} {d mu}} { frac {dx ^ { beta}} {d mu}}}} + phi _ { alpha} (x) { frac {dx ^ { alpha}} {d mu}} vpravo) d mu}$,

kde ${ displaystyle mu}$ je libovolný parametr v rozsahu nad interval ${ displaystyle [ mu _ {a}, mu _ {b}]}$ a měnící se křivka s pevnými koncovými body ${ displaystyle x_ {a} = x ( mu _ {a})}$ a ${ displaystyle x_ {b} = x ( mu _ {b})}$.

Princip stacionárního integrálu energie

V zásadě stacionární integrál energie pro pohyb částice podobné světlu,^[3] pseudo-Riemannova metrika s koeficienty ${ displaystyle { tilde {g}} _ {ij}}$ je definována transformací

${ displaystyle { tilde {g}} _ {00} = rho ^ {2} {g} _ {00}, , , , , { tilde {g}} _ {0k} = rho {g} _ {0k}, , , , , { tilde {g}} _ {kq} = {g} _ {kq}.}$

S časovou souřadnicí ${ displaystyle x ^ {0}}$ a prostorové souřadnice s indexy k, q = 1,2,3 the prvek čáry je napsán ve formě

${ displaystyle ds ^ {2} = rho ^ {2} g_ {00} (dx ^ {0}) ^ {2} +2 rho g_ {0k} dx ^ {0} dx ^ {k} + g_ {kq} dx ^ {k} dx ^ {q},}$

kde ${ displaystyle rho}$ je nějaká veličina, o které se předpokládá, že je rovna 1 a je považována za energii částice podobné světlu ${ displaystyle ds = 0}$. Řešení této rovnice pro ${ displaystyle rho}$ pod podmínkou ${ displaystyle g_ {00} neq 0}$ dává dvě řešení

${ displaystyle rho = { frac {-g_ {0k} v ^ {k} pm { sqrt {(g_ {0k} g_ {0q} -g_ {00} g_ {kq}) v ^ {k} v ^ {q}}}} {g_ {00} v ^ {0}}},}$

kde ${ displaystyle v ^ {i} = dx ^ {i} / d mu}$ jsou prvky čtyřrychlostní. I když jedno řešení v souladu s definicí je ${ displaystyle rho = 1}$.

S ${ displaystyle g_ {00} = 0}$ a ${ displaystyle g_ {0k} neq 0}$ i když pro jednoho k energie má formu

${ displaystyle rho = - { frac {g_ {kq} v ^ {k} v ^ {q}} {2v_ {0} v ^ {0}}}.}$

V obou případech pro volný pohyb částice Lagrangian je

${ displaystyle L = - rho.}$

Své částečné derivace dát kanonický moment

${ displaystyle p _ { lambda} = { frac { částečné L} { částečné v ^ { lambda}}} = { frac {v _ { lambda}} {v ^ {0} v_ {0}} }}$

a síly

${ displaystyle F _ { lambda} = { frac { částečné L} { částečné x ^ { lambda}}} = { frac {1} {2v ^ {0} v_ {0}}} { frac { částečné g_ {ij}} { částečné x ^ { lambda}}} v ^ {i} v ^ {j}.}$

Momenta uspokojí energetický stav ^[4]pro uzavřený systém

${ displaystyle rho = v ^ { lambda} p _ { lambda} -L.}$

Standard variační postup podle Hamiltonův princip se aplikuje na akci

${ displaystyle S = int _ { mu _ {b}} ^ { mu _ {a}} Ld mu = - int _ { mu _ {b}} ^ { mu _ {a}} rho d mu,}$

což je integrální součást energie. Stacionární akce je podmíněna nulovými variačními deriváty δS/δx^λa vede k Euler-Lagrangeovy rovnice

${ displaystyle { frac {d} {d mu}} { frac { částečné rho} { částečné v ^ { lambda}}} - { frac { částečné rho} { částečné x ^ { lambda}}} = 0,}$

který je přepsán ve formě

${ displaystyle { frac {d} {d mu}} p _ { lambda} -F _ { lambda} = 0.}$

Po nahrazení kanonické hybnosti a sil, které dávají ^[5] pohybové rovnice částice podobné světlu v a volný prostor

${ displaystyle { frac {dv ^ {0}} {d mu}} + { frac {v ^ {0}} {2v_ {0}}} { frac { částečný g_ {ij}} { částečné x ^ {0}}} v ^ {i} v ^ {j} = 0}$

a

${ displaystyle (g_ {k lambda} v_ {0} -g_ {0k} v _ { lambda}) { frac {dv ^ {k}} {d mu}} + doleva [v_ {0} Gamma _ {0ij} -v _ { lambda} Gamma _ { lambda ij} right] v ^ {i} v ^ {j} = 0,}$

kde ${ displaystyle Gamma _ {kij}}$ jsou Christoffel symboly prvního druhu a indexů ${ displaystyle lambda}$ brát hodnoty ${ displaystyle 1,2,3}$.

Statický časoprostor

Pro izotropní cesty transformace na metriku ${ displaystyle { overline {g}} _ {ij} = g_ {ij} / {g_ {00}}}$ odpovídá nahrazení parametru ${ displaystyle mu}$ na ${ displaystyle d { overline { mu}} = d mu / { sqrt {g_ {00}}}}$ na které čtyři rychlosti ${ displaystyle { overline {v}} ^ {i} = dx ^ {i} / d { overline { mu}}}$ korespondovat. Křivka pohybu světelné částice dovnitř čtyřrozměrný časoprostor a hodnota energie ${ displaystyle rho}$ jsou neměnný v rámci této reparametrizace. Pro statický časoprostor první pohybová rovnice s příslušným parametrem ${ displaystyle { overline { mu}}}$ dává ${ displaystyle { overline {v}} ^ {0} = 1}$ . Kanonická hybnost a síly mají formu

${ displaystyle { overline {p}} _ { lambda} = { overline {v}} _ { lambda}; qquad { overline {F}} _ { lambda} = { frac {1} {2}} { frac { částečné { overline {g}} _ {ij}} { částečné x ^ { lambda}}} { overline {v}} ^ {i} { overline {v} } ^ {j}.}$

Jejich nahrazení v Euler-Lagrangeových rovnicích dává

${ displaystyle { frac {d} {d mu}} vlevo ({ overline {g}} _ { lambda k} { overline {v}} ^ {k} vpravo) = { frac { 1} {2}} { frac { částečné { overline {g}} _ {ij}} { částečné x ^ { lambda}}} { overline {v}} ^ {i} { overline { v}} ^ {j}}$.

Po diferenciaci na levé straně a vynásobení ${ displaystyle { overline {g}} ^ {l lambda}}$ tento výraz, po sčítání nad opakovaným indexem ${ displaystyle lambda}$, se stává nulovými geodetickými rovnicemi

${ displaystyle { frac {d ^ {2} x ^ {l}} {d { overline { mu}} ^ {2}}} + Gamma _ {ij} ^ {l} { frac {dx ^ {i}} {d { overline { mu}}}} { frac {dx ^ {j}} {d { overline { mu}}}} = 0,}$

kde ${ displaystyle Gamma _ {ij} ^ {l}}$ jsou druhý druh Christoffel symboly s respektem k metrický tenzor ${ displaystyle { overline {g}} _ {ij}}$.

Takže v případě statického časoprostoru dává geodetický princip a metoda energetické variace, stejně jako Fermatův princip, stejné řešení pro šíření světla.

Zobecněný Fermatův princip

Podle zobecněného Fermatova principu ^[6] čas se používá jako funkční a společně jako proměnná. Je aplikován Pontryaginův minimální princip optimální ovládání teorie a získal efektivní Hamiltonian pro pohyb částic ve tvaru světla ve zakřiveném časoprostoru. Ukazuje se, že získané křivky jsou nulové geodetiky.

Je prokázána identita zobecněných Fermatových principů a stacionárního energetického integrálu světelné částice pro rychlosti.^[5] Virtuální posunutí souřadnic zachovává dráhu částice podobné světlu, která má být v pseudo-Riemannově časoprostoru nulová, tj. Nevede k narušení Lorentzovy invariance v lokalitě a odpovídá variačním principům mechaniky. Rovnocennost řešení daných prvním principem, geodetikou, znamená, že použití druhého také ukáže geodetiku. Stacionární princip integrace energie poskytuje soustavu rovnic, která má o jednu rovnici více. Umožňuje jednoznačně určit kanonický moment částice a síly na ni působící v daném okamžiku referenční rámec.

Viz také

• Fermatův princip
• Variační metody v obecné relativitě

Reference

Další čtení

• Belayev, W. B. (2011). "Aplikace Lagrangeovy mechaniky pro analýzu pohybu světelných částic v pseudo-Riemannově prostoru". arXiv:0911.0614. Bibcode:2009arXiv0911.0614B. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)CS1 maint: ref = harv (odkaz)