Esakia prostor - Esakia space
v matematika, Esakia mezery jsou speciální nařízeno topologické prostory představil a studoval Leo Esakia v roce 1974.[1] Esakia prostory hrají zásadní roli ve studiu Ahoj algebry, zejména na základě Esakia dualita —The dvojí rovnocennost mezi kategorie Heytingových algeber a kategorie prostor Esakia.
Definice
Pro částečně objednané soubor (X,≤) a pro X∈ X, nechť ↓X = {y∈ X : y≤ X} a nechte ↑X = {y∈ X : X≤ y} . Také pro A⊆ X, nechť ↓A = {y∈ X : y ≤ X pro některé X∈ A} a ↑A = {y∈ X : y≥ X pro některé X∈ A} .
An Esakia prostor je Priestleyův prostor (X,τ,≤) takové, že pro každého clopen podmnožina C topologického prostoru (X,τ), sada ↓C je také clopen.
Ekvivalentní definice
Existuje několik ekvivalentních způsobů, jak definovat prostory Esakia.
Teorém:[2] Vzhledem k tomu (X,τ) je Kamenný prostor, ekvivalentní jsou následující podmínky:
- (i) (X,τ,≤) je prostor Esakia.
- ii) ↑X je Zavřeno pro každého X∈ X a ↓C je clopen pro každou clopen C⊆ X.
- (iii) ↓X je uzavřen pro každého X∈ X a ↑ cl (A) = cl (↑A) pro každého A⊆ X (kde tř označuje uzavření v X).
- (iv) ↓X je uzavřen pro každého X∈ X, nejméně uzavřená sada obsahující naštvaný je up-set a nejméně up-set obsahující uzavřenou sadu je uzavřen.
Esakijské morfismy
Nechat (X,≤) a (Y,≤) být částečně objednané sady a nechat f: X → Y být zachování objednávek mapa. Mapa F je ohraničený morfismus (také známý jako p-morfismus ) pokud pro každého X∈ X a y∈ Y, pokud F(X)≤ y, pak existuje z∈ X takhle X≤ z a F(z) = y.
Teorém:[3] Následující podmínky jsou ekvivalentní:
- (1) F je omezený morfismus.
- (2) f (↑X) = ↑ f (X) pro každého X∈ X.
- (3) F−1(↓y) = ↓ f−1(y) pro každého y∈ Y.
Nechat (X, τ, ≤) a (Y, τ′, ≤) být Esakia prostory a nechat f: X → Y být mapou. Mapa F se nazývá Esakijský morfismus -li F je kontinuální ohraničený morfismus.
Poznámky
Reference
- Esakia, L. (1974). Topologické modely Kripke. Sovětská matematika. Dokl., 15 147–151.
- Esakia, L. (1985). Heyting Algebras I. Duality Theory (rusky). Metsniereba, Tbilisi.