Esakia prostor - Esakia space

v matematika, Esakia mezery jsou speciální nařízeno topologické prostory představil a studoval Leo Esakia v roce 1974.[1] Esakia prostory hrají zásadní roli ve studiu Ahoj algebry, zejména na základě Esakia dualita —The dvojí rovnocennost mezi kategorie Heytingových algeber a kategorie prostor Esakia.

Definice

Pro částečně objednané soubor (X,≤) a pro X X, nechť X = {y X : yX} a nechte X = {y X : Xy} . Také pro AX, nechť A = {y X : yX pro některé X A} a A = {y X : yX pro některé X A} .

An Esakia prostor je Priestleyův prostor (X,τ,≤) takové, že pro každého clopen podmnožina C topologického prostoru (X,τ), sada C je také clopen.

Ekvivalentní definice

Existuje několik ekvivalentních způsobů, jak definovat prostory Esakia.

Teorém:[2] Vzhledem k tomu (X,τ) je Kamenný prostor, ekvivalentní jsou následující podmínky:

(i) (X,τ,≤) je prostor Esakia.
ii) X je Zavřeno pro každého X X a C je clopen pro každou clopen CX.
(iii) X je uzavřen pro každého X X a ↑ cl (A) = cl (↑A) pro každého AX (kde označuje uzavření v X).
(iv) X je uzavřen pro každého X X, nejméně uzavřená sada obsahující naštvaný je up-set a nejméně up-set obsahující uzavřenou sadu je uzavřen.

Esakijské morfismy

Nechat (X,≤) a (Y,≤) být částečně objednané sady a nechat f: XY být zachování objednávek mapa. Mapa F je ohraničený morfismus (také známý jako p-morfismus ) pokud pro každého X X a y Y, pokud F(X)≤ y, pak existuje z X takhle Xz a F(z) = y.

Teorém:[3] Následující podmínky jsou ekvivalentní:

(1) F je omezený morfismus.
(2) f (↑X) = ↑ f (X) pro každého X X.
(3) F−1(↓y) = ↓ f−1(y) pro každého y Y.

Nechat (X, τ, ≤) a (Y, τ′, ≤) být Esakia prostory a nechat f: XY být mapou. Mapa F se nazývá Esakijský morfismus -li F je kontinuální ohraničený morfismus.

Poznámky

  1. ^ Esakia (1974)
  2. ^ Esakia (1974), Esakia (1985).
  3. ^ Esakia (1974), Esakia (1985).

Reference

  • Esakia, L. (1974). Topologické modely Kripke. Sovětská matematika. Dokl., 15 147–151.
  • Esakia, L. (1985). Heyting Algebras I. Duality Theory (rusky). Metsniereba, Tbilisi.