Esakia prostor - Esakia space

v matematika, Esakia mezery jsou speciální nařízeno topologické prostory představil a studoval Leo Esakia v roce 1974.^[1] Esakia prostory hrají zásadní roli ve studiu Ahoj algebry, zejména na základě Esakia dualita —The dvojí rovnocennost mezi kategorie Heytingových algeber a kategorie prostor Esakia.

Definice

Pro částečně objednané soubor $(X,\leq)$ a pro $X \in X$ , nechť $↓ X = {y \in X : y \leq X$ } a nechte $↑ X = {y \in X : X \leq y}$ . Také pro $A \subseteq X$ , nechť $↓ A = {y \in X : y \leq X pro některé X \in A$ } a $↑ A = {y \in X : y \geq X pro některé X \in A}$ .

An Esakia prostor je Priestleyův prostor $(X, τ,\leq)$ takové, že pro každého clopen podmnožina $C$ topologického prostoru $(X, τ)$ , sada $↓ C$ je také clopen.

Ekvivalentní definice

Existuje několik ekvivalentních způsobů, jak definovat prostory Esakia.

Teorém:^[2] Vzhledem k tomu $(X, τ)$ je Kamenný prostor, ekvivalentní jsou následující podmínky:

(i)

(X, τ,\leq)

je prostor Esakia.

ii)

↑ X

je Zavřeno pro každého

X \in X

a

↓ C

je clopen pro každou clopen

C \subseteq X

.

(iii)

↓ X

je uzavřen pro každého

X \in X

a

↑ cl (A) = cl (↑ A)

pro každého

A \subseteq X

(kde

tř

označuje uzavření v

X

).

(iv)

↓ X

je uzavřen pro každého

X \in X

, nejméně uzavřená sada obsahující naštvaný je up-set a nejméně up-set obsahující uzavřenou sadu je uzavřen.

Esakijské morfismy

Nechat $(X,\leq)$ a $(Y,\leq)$ být částečně objednané sady a nechat $f: X \to Y$ být zachování objednávek mapa. Mapa $F$ je ohraničený morfismus (také známý jako p-morfismus ) pokud pro každého $X \in X$ a $y \in Y$ , pokud $F(X)\leq y$ , pak existuje $z \in X$ takhle $X \leq z$ a $F(z) = y$ .

Teorém:^[3] Následující podmínky jsou ekvivalentní:

(1)

F

je omezený morfismus.

(2)

f (↑ X) = ↑ f (X)

pro každého

X \in X

.

(3)

F -1 (↓ y) = ↓ f -1 (y)

pro každého

y \in Y

.

Nechat $(X, τ, \leq)$ a $(Y, τ', \leq)$ být Esakia prostory a nechat $f: X \to Y$ být mapou. Mapa $F$ se nazývá Esakijský morfismus -li $F$ je kontinuální ohraničený morfismus.

Poznámky

^ Esakia (1974)
^ Esakia (1974), Esakia (1985).
^ Esakia (1974), Esakia (1985).

Reference

Esakia, L. (1974). Topologické modely Kripke. Sovětská matematika. Dokl., 15 147–151.
Esakia, L. (1985). Heyting Algebras I. Duality Theory (rusky). Metsniereba, Tbilisi.

[1] Esakia (1974)

[2] Esakia (1974), Esakia (1985).

[3] Esakia (1974), Esakia (1985).

[1]

[2]

[3]